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课件网) 人教版 九上 第23章旋转 复习 模型一：等线段共点 例一：求角度 1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数． 【解答】解：如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连 接DP，∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD， ∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°， 在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3， 而 ∴PB2+PD2＝BD2， ∴△PBD为直角三角形， ∴∠DPB＝90°， ∴∠BPC＝45°+90°＝135° 例二：求长度 2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．若∠ADC＝15°，∠BDC＝30°，△BCD的面积是 ，求CD的长． 模型二：手拉手模型 定义： 两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形。 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分 ∠BOC 等腰三角形 例一：等边三角形 1、图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形． （1）如图1，求证：AD＝CE； （2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF． ①求证：∠CFA＝60°； ②求证：CF+BF＝AF． 2．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？ （5）线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？ 例二：正方形 课后练习 1、（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90° PC＝EC＝2；BE＝PA＝3； 由勾股定理得：PE2＝22+22＝8； ∵PB2＝1，BE2＝9， ∴BE2＝PE2+PB2， ∴∠BPE＝90°， ∵∠CPE＝45°， ∴∠BPC＝135°． （2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ； 则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4； ∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3； ∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25， ∴PQ2+CQ2＝PC2， ∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°， ∴∠APB＝∠AQC＝150° 2．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD＝CF． （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由． （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系． ②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD＝45°， ∴∠ACF+∠ACB＝90°， ∴BD⊥CF； （2）（1）的结论仍然成立，理由： ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD， ∠CAF＝∠DAF+∠CAD＝90°+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD＝45 ... ...
