第5讲 二次函数(3)基础练习题（含解析）

第5讲 二次函数（三） 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 1.列二次函数关系 【例题精选】 例1（2020?昌图县校级一模）把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝320（x﹣1） B．y＝320（1﹣x） C．y＝160（1﹣x2） D．y＝160（1﹣x）2 【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1﹣x）（1﹣x），由此即可得到函数关系式． 【解答】解：第一次降价后的价格是160（1﹣x）， 第二次降价为160（1﹣x）×（1﹣x）＝160（1﹣x）2 则y与x的函数关系式为y＝160（1﹣x）2． 故选：D． 【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数． 例2（2019?山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（　　） A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝x2 D．y＝﹣x2 【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2， 将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452， 解得：a＝﹣， 故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣x2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键． 【随堂练习】 1．（2019秋?永嘉县期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2 【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆， 则y＝a（1+x）2． 故选：B． 2．（2019秋?庐阳区校级月考）某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A．y＝a（1﹣x）2 B．y＝a（1+x）2 C．y＝ax2 D．y＝x2+a 【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆， 则y＝a（1+x）2． 故选：B． 2．实际问题 【例题精选】 例1（2019秋?庐阳区校级期中）如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线 所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离 ... ...