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课件网) 中考数学 （广东专用） §8.7 代数几何综合题型(二) 1.(2020河北,26,12分)如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tan C=?.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC 上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始 终保持∠APQ=∠B. (1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离; (2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分时,求MP的长; (3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示); (4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共 用时36秒.若AK=?,请直接写出点K被扫描到的总时长. ? 图1 图2 解析 (1)当AP⊥BC时,点P与点A的最短距离为PA的长,如图1. ∵AB=AC,∴PC=?BC=4. 在Rt△PAC中,tan C=?=?,∴PA=3. ? 图1 (2)由(1)得AB=AC=?=5. 如图2,由∠B=∠APQ,易得△APQ∽△ABC. ? 图2 ∴?=?.∴AP=?. ∴MP=AP-AM=?. (3)作PH⊥AC交直线AC于点H,则点P到直线AC的距离为PH的长. 当0≤x≤3时,如图3.由∠B=∠APQ,得PQ∥BC,∴∠AQP=∠C. ∴tan∠AQP=?=?.∴QH=?PH. 在Rt△QPH中,PQ=?=?PH. 由△APQ∽△ABC,得?=?,∴AP=?PH. ∴x+2=?PH,∴PH=?x+?. ? 图3 当3≤x≤9时,如图4.同理可得PC=?PH. ∴x-(5-2)=8-?PH. ∴PH=-?x+?. ? 图4 (4)23秒. 提示:设点P移动了t秒,当0≤t≤12时,AQ=AP=2+PM=?t+2,令AQ=?,解得t=1; 当12
AB,点C在EB上,∠ABC= ∠EBF=90°,AB=BE=8 cm,BC=BF=6 cm,延长DC交EF于点M,点P从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度为1 cm/s.过点P作GH⊥AB于点H,交CD于点G.设运 动时间为t(s)(0