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课件网) 2.3 映射 一 二 三 一、映射 若两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的映射,记作: f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像,记作f:x→y. 一 二 三 【做一做1】 已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},下列A到B的四种对应法则中,能够构成映射的有( ) ? A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:所给对应中①,③符合映射的定义,②中的元素4在B中无元素与之对应,而④中A的元素3在B中有两个元素与之对应,因此都不能构成映射. 答案:B 一 二 三 二、一一映射 如果映射f:A→B满足A中的不同元素的像不同且B中的每一个元素都有原像,那么称映射f:A→B为一一映射,一一映射也称为一一对应. 映射和一一映射的区别与联系 一 二 三 【做一做2】 下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为( ) ①A=N,B=Z,f:x→y=-x. ②A=N+,B={0,1},f:除以2所得的余数. ③A={-4,-1,1,4},B={-2,-1,1,2},f:x→y=± . ④A={平面内边长不同的等边三角形},B={平面内半径不同的圆},f:作等边三角形的内切圆. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①是映射,但不是一一映射,如集合B中4没有原像;②中所有正偶数在对应法则f下只有零一个值,所以不是一一映射;③中集合A的每个值,有两个集合B中的值对应,不是映射;只有④是一一映射. 答案:A 一 二 三 三、函数与映射 函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空数集的映射.函数的概念可以叙述为:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B就叫作A到B的函数.在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数. 一 二 三 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)映射f:A→B与映射f:B→A是同一个映射. ( ) (2)映射f:A→B中,A中的元素可以没有像与之对应. ( ) (3)映射f:A→B中,B中的任一元素均有原像与之对应.( ) (4)一一映射f:A→B中,B中的任一元素均有原像与之对应. ( ) (5)映射是函数,函数也是映射. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 探究一 探究二 探究三 易错辨析 映射的概念 【例1】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么? (1)A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},对应关系f:x→y=x+1; (2)A=N,B=N+,对应关系f:x→|x-1|; (3)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},对应关系f:x→ . 分析:依次按照映射、一一映射、函数的定义进行判断. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,所以此对应是从A到B的映射.又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应,故该对应是一一映射.又A,B是非空数集,因此该对应也是从集合A到集合B的函数. (2)集合A=N中元素1在对应关系f的作用下为0,而0?N+,即A中元素1在B中没有元素与之对应,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射. (3)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3,而3?B,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 如何判断一个对应是否构成从A到B的映射 先看集合A中的每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若有,看对应元素是否唯一,若对应元素唯一,则是映射;否则,不是映射;集合B中有剩余元素不影响映射的成立.想说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可,若进一步判断该映射是否是函数,只需看两个集合A,B是否是非空数集即可,若A,B均为非空数集,则是函数,否则不是函数;若进一步判断是否为一一映射,还需注意B中的每一个元素在A中都有原像,集合 ... ...
