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课件网) 5.1.1 变化率问题 1.瞬时速度 我们把物体在_____的速度称为瞬时速度. 【思考】 物体在时间段 的平均速度与在时刻t=1的瞬时速度有什么关系? 提示:当时间间隔 无限趋近于0时,平均速度 就无限趋近于t=1时的 瞬时速度. 必备知识·素养奠基 某一时刻 2.极限 对于 = =-4.9Δt-5,我们把-5叫做“当Δt无限趋近于0时, = 的极限”,记为 =-5. 3.曲线的切线 当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的 直线P0T称为抛物线f（x）=x2在点P0（1，1）处的切线. 【思考】 曲线的割线P0P与曲线在P0的切线有什么关系? 提示:当横坐标间隔 无限变小时,点P无限趋近于点P0,割线P0P无限趋近于 点P0处的切线P0T.割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数. ( ) (2)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 公式中Δx与Δy同号. ( ) (3)物体在某一时刻t的瞬时速度即在[t,t+Δt]上,当Δt较小时的平均速度. ( ) 提示:(1)×.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数, 也可以是负数,但不能为0. (2)×.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 公式中Δx与Δy 可能同号,也可能异号. (3)×.物体在某一时刻t的瞬时速度是当Δt?0时,平均速度的极限. 2.某物体的位移公式为s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内下列理解正确的 是( ) A.(t0+Δt)-t0称为函数值增量 B.t0称为函数值增量 C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)称为函数值增量 D. 称为函数值增量 【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C 正确. 3.曲线y=x2-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D. 【解析】选A. k= = =0. 关键能力·素养形成 类型一 求运动物体的平均速度 【典例】1.已知一物体的运动方程为y=f(t)=2t2+1,其中t的单位是s,路程单位为m,那么物体在时间[1,1+Δt]内的平均速度为 ( ) A.4 B.4Δt C.4+2Δt D.2Δt 2.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的 是( ) A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 【思维·引】1.根据函数变化率的定义求解. 2.结合图形的变化趋势判断甲乙在各个时间段的平均速度的大小. 【解析】1.选C.由题意,Δy=f(1+Δt)-f(1) =2(1+Δt)2+1-3=4Δt+2(Δt)2, 所以 =4+2Δt. 2.选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同; 在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速 度较大. 【内化·悟】 如何计算运动物体的平均速度? 提示:应用公式 , 或者 . 【类题·通】 求平均变化率的步骤 物体的运动方程为y=f（x）,求在区间 [ ]的平均变化率的步骤: (1)求时间的改变量Δx=x-x0; (2)求函数值的变化量Δy=f（x）-f（x0）; (3)求平均变化率 . 提醒:Δx,Δy的值可正、可负,但Δx≠0,当f（x）=c为常数时,Δy=0. 【习练·破】 已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S=πr2,其中r∈(0,+∞),则当 半径r∈[1,1+Δr]时,圆的面积S的平均变化率为_____.? 【解析】当r∈[1,1+Δr]时,圆面积S的平均变化率为 = = =2π+πΔr. 答案:2π+πΔr 类型二 求瞬时速度 【典例】1.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2 s时的瞬时速度是 ( ) ... ...
