温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 3.2 半 角 公 式 新课程标准 学业水平要求 能运用半角公式进行简单的恒等变换 ★水平一1.能通过二倍角公式推导出半角公式.(逻辑推理)2.了解半角公式的结构形式,并能利用公式解决简单的求值问题.(数学运算)★水平二进一步掌握三角恒等变换的公式,并能利用公式解决化简、求值及证明问题.(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主学习 导思 1.如何利用二倍角公式推出半角公式?2.怎样确定半角公式根号前的符号? 半角公式 名称 简记符号 公式 适用范围 半角的正弦公式 sin=± α∈R 半角的余弦公式 cos=± 半角的正切公式 tan=± α≠(2k+1)π,k∈Z tan= tan= α≠kπ,k∈Z (1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的? 提示:倍角的余弦公式.推导如下: 在倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得: cos α=1-2sin2=2cos2-1. 所以sin2=,cos2=, tan2=.开方可得半角公式. (2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择? 提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号. (3)半角公式对α∈R都成立吗? 提示:公式,对α∈R都成立,但公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z). 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)cos =.( ) (2)存在α∈R,使得cos=cos α.( ) (3)对于任意α∈R,sin=sin α都不成立.( ) (4)若α是第一象限角,则tan=.( ) 提示:(1)×.只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z), 即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos=. (2)√.当cos α=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立. (4)√.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=成立. 2.的值等于( ) A.sin 40° B.sin 50° C.cos 130° D.±cos 50° 【解析】选B.因为=|sin 50°|, 又因为sin 50°>0,所以原式=sin 50°. 3.(教材二次开发:例题改编)若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为( ) A. B.- C. D.- 【解析】选C.因为∈,所以cos>0, cos==. 关键能力·合作学习 类型一 半角公式求值(数学运算) 角度1 给角求值? 【典例】求值: (1)sin=_____.? (2)tan=_____. ? 【思路导引】利用半角公式求解. 【解析】(1)sin===. (2)tan===-1. 答案:(1) (2)-1 本例(1)的条件若改为“cos”,结果为什么? 【解析】cos= ==. 角度2 给值求值? 【典例】已知cos α=,α为第四象限角,则tan的值为_____.? 【解析】方法一:(用tan=±来处理) 因为α为第四象限角, 所以是第二或第四象限角.所以tan<0. 所以tan=-=-=- =-=-=. 答案: 方法二:(用tan=来处理) 因为α为第四象限的角,所以sin α<0. 所以sin α=-=-=-. 所以tan===. 答案: 方法三:(用tan=来处理) 因为α为第四象限的角,所以sin α<0. 所以sin α=-=-=-. 所以tan====. 答案: 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算. (4)下结论:结合(2)求值. 1.(2020·银川高一检测)已知a=cos 6°-sin 6°,b=,则有( ) A.a>b B.a
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