抛物线与一元二次方程联合解题的常用方法

抛物线与一元二次方程联合解题的常用方法 摘要： 二次函数是初中数学教学的重要内容，也是中考的重要考点.特别是抛物线与x轴的交点问题，与直线相交问题是考点的特色之一，它包含了常规的解析式确定，点的坐标确定，更是涵盖了坐标的最值，点的存在性等热点问题，特别是在解答时，充分把问题转化为一元二次方程的判别式或根与系数关系定理来求解的思路更是把数学的转化思想提升到了极致. 关键词：交点，最值，根与系数定理，转化思想. 二次函数是一个重要内容,二次函数与相应的一元二次方程的关系更是重中之重.中考要求学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系;会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与轴的交点情况;会利用韦达定理解决有关二次函数的问题.[1]下面就谈谈抛物线与一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理解题技巧，供学习时借鉴. 一、把直线与抛物线的交点转化为根的判别式型 例1（2018?黄冈）已知直线 y=kx+1与抛物线y=﹣4x． （1）求证：直线与该抛物线总有两个交点； （2）设直线与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积． 分析：（1）联立两解析式，化方程组为一元二次方程，借助一元二次方程根的判别式解答； （2）根据题意正确画出图象，利用方程组的解求得A、B的坐标，再求出直线y=﹣2x+1与x轴的交点C，然后利用分割法求得三角形的面积． 解：（1）由题意，得，化简，得﹣（k+4）x-1=0,因为△=+4＞0， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以直线与该抛物线总有两个交点； （2） 解法1：当k=﹣2时，所以y=﹣2x+1，由题意，得， 解得或，所以A(1-,2-1),B(1+,-2-1). 如图1，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，所以AF=2﹣1，BE=1+2 易得：直线y=﹣2x+1与x轴的交点C为（，0），所以OC=， 所以=+=OC?AF+OC?BE =OC（AF+BE）=××（2﹣1+1+2）=. 解法2：如图2，设A(,),B(,),当k=﹣2时，所以y=﹣2x+1，由题意，得，化简，得﹣2x-1=0,所以，是一元二次方程﹣2x-1=0的两个根， 所以+=2，=-1，所以｜-｜==2 如图2，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，所以EF=2, 易得：直线y=﹣2x+1与y轴的交点C为（0，1），所以OC=1， 所以=+=OC?OF+OC?OE =OC（OF+OE）=OC×EF=×1×2=. 　点评:方法1是以几何法为主体加以求解,解法2是几何法与根与系数关系定理综合运用为主体,两中方法各有千秋,方法1计算量大,方法2技巧性强，都要重视.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式.[2] 二、抛物线与x轴有唯一交点型 2.1 抛物线与x轴交点唯一，求交点横坐标的最值 例2 已知抛物线y=+bx+c与x轴只有一个公共点，且直线y=kx-1（k≠0）过抛物线的顶点M. （1）当b=1时，求k的值； （2）求证：直线与抛物线有两个交点； （3）直线与抛物线的另一个交点记作为N，若b＞0时，求点N横坐标P的最大值. 分析：由抛物线与x轴只有一个公共点，确定顶点坐标得纵坐标为0，即-4c=0，顶点坐标为（-，0），这样第一问即可破解. 第二问证明需要把问题转化为解析式联立化简后一元二次方程根的判别式问题，只要对应的方程的根的判别式恒大于零，问题就顺利得解. 第三问求最值，由（2）的启示，可以将问题转化为一元二次方程根与系数关系定理问题，用b表示出点N的横坐标p，从而借助根的判别式求出其最值. 解： （1）：由抛物线与x轴只有一个公共点，所以-4c=0，顶点坐标为（-，0）， 所以0=-k×-1,所以k=-，所以当b=1时，k=-2； （2）由题意，得，化简，得+（b-k）x+c+1=0, 因为△=-4c-4=-2bk+-4c-4＞0，因为-4c=0,kb=-2,所以△=，因为k≠0， 所以△=＞0，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以直线与该抛物线总有两个交点； （3）由题意，得，化简，得+（b-k）x+c+1=0, 根据题意，得 ... ...