中小学教育资源及组卷应用平台 专题18：概率、随机变量及其分布-备战2021高考之2020新高考真题分项汇编 一、单选题 1．（2020·海南高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A．62% B．56% C．46% D．42% 答案：C 解答： 记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件， 则，，， 所以 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 二、多选题 2．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ） A．若n=1，则H(X)=0 B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C．若，则H(X)随着n的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y) 答案：AC 解答： 对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确. 对于B选项，若，则，， 所以， 当时，， 当时，， 两者相等，所以B选项错误. 对于C选项，若，则 ， 则随着的增大而增大，所以C选项正确. 对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）. . 由于，所以，所以， 所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 三、填空题 3．（2020·江苏高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 答案： 解答： 根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为. 故答案为：. 4．（2020·天津高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_____；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_____． 答案： 解答： 甲、乙两球落入盒子的概率分别为， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 故答案为：；. 四、双空题 5．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_____；_____． 答案： 解答： 因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以， 随机变量， ， ， 所以. 故答案为：. 五、解答题 6．（2020·江苏高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn． （1）求p1·q1和p2·q2； （2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ． 答案：（1）（2） 解答： （1）， ， . （2）， ， 因此， 从而， 即. 又的分布列为 0 1 2 故. 7．（2020·北京高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支 ... ...
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