《实数的概念》教案 【教学目标】 通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知无理数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数轴上和有理数是稠密排列共存的。 通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。 了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。 【教学重点】 对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。 【教学难点】 理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系 【教学过程设计】 复习引入 我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成false形式，其中对p、q有没有什么要求呢？（p、q为整数，p、q互素，且P不为0）。平时为了感受分数的大小，又能够将分数false化为有限小数或者无限循环小数。 特别的当P=1时，false可以表示一个整数。由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用false来表示。 问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成false（p、q为整数，且P不为0）的形式？ 即：有没有不是有理数的数？ 【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率false即是一个无限不循环小数。 二、新课讲授 【活动一】正方形剪拼，引出false。 我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是false，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。 问题1：新的这个正方形的面积是多少？（false） 问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为false，则可以得到false。以我们现有的有理数知识，我们不知道false的取值，我们暂且称它为false“根号2”） 这个false是我们拼成的面积为2的大正方形的边长，也是原来面积为1的小正方形的对角线长。（图示） 问题3：那么false究竟有多大呢？它到底是不是有理数呢？我们通过下面这个活动来解决这两个问题。 【活动二】在数轴上探究false的大小。 ①首先我们知道1的平方是1，2的平方是4。所以false一定介于1与2之间（否认了它是整数） ②接下来我们取什么值与它比较？1.5的平方是2.25大于2，所以false小于1.5 ③再接下来我们取什么值与它比较？1.4的平方是1.96小于2，所以false大于1.4 ④我们再来做一组，1.42的平方是2.0164大于2，所以false小于1.42 【分析】如此往复下去我们知道我们是在取有理数去无限逼近这个false，我们能体会到它一定也是个无限小数，随着我们不断取有理数去逼近false，我们知道小数位上的数字呈无规律出现，并且小数位越多，就与false越贴近。因此它是一个无限且不循环的小数。 其实历史上早已经有人发现了这个问题： 阅读材料：2400多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕斯通过折纸问题发现了一个惊人的事实：以一个正方形的边长（一个有理数）为长度单位，去量这个正方形的对角线，这一对角线的长度不能用有理数来表示。希帕斯的发现揭示了我们之前学习的有理数是由缺陷的，即：我们的数轴上除了有理数之外还有间隙。这一发现当时震惊了整个学术世界。 【活动三】几何画板验证希帕斯发现 首先我们来利用现代的几何画板工具来验证希帕斯的发现是否正确。当我们正方形的边长取有理数值的时候，我们得到它的对角线的长度是一个无限不循环小数，不是我们熟悉的有理数。 【分析】运 ... ...
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