9.2 多边形的内角和与外角和 新课导入 顶点 边 内角 三角形的内角和等于180°. 你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ 新课探索 图中是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD. D B A C 图中是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形 ABCDE. A B C D E 一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们已经认识的多边形. 注意 这也是四边形，但不在现在的研究范围内. 我们现在研究的多边形都是凸多边形. ∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形 ABCD的四个内角. ∠CBE 和∠ABF 都是与∠ABC 相邻的外角，两者互为对顶角. A B C D E F A B C D E 五边形有 5 个内角，有 10 个外角. A B C D E F 六边形有 6 个内角，有 12 个外角. 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 正三角形 正方形 正五边形 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. A B C D E F A B C D E A B C D 探索 为了求得 n 边形的内角和，请根据图中所示，完成下表. 多边形的边数 3 4 5 6 7 … n 分成的三角形个数 1 2 … 多边形的内角和 180° 360° … 540° 3 4 720° 5 900° n – 2 （n – 2）·180° n 边形的内角和为（n – 2）·180°. “归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程. 在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到. 当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向. 因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的. 读 一 读 例 1 求八边形的内角和. 解 八边形的内角和为 （n – 2）×180° = （8 – 2）×180°= 1080°. 例 2 已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数. 解 设这个多边形的边数为 n， 根据题意，得 （n – 2）×180°= 2160°. 解得 n = 14. 即这个多边形的边数为 14. 练习 若正 n 边形的一个内角是 144°，那么 n = . 10 试 一 试 你有其他方法证明多边形的内角和吗？ P 在 n 边形内任取一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得 n 个三角形. 则 n 变形的内角和等于 n 个三角形的内角和减去圆角 P. 即 180°n – 360°=（n – 2）·180° 若是将点 P 取在多边形的边上以及多边形的外面，你能证明吗？ P P A B C 1 2 3 D 4 5 6 7 8 四边形的外角和 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 就是四边形的外角和. 从图中可以知道： （∠1 +∠5）+（∠2 +∠6）+（∠3 +∠7）+（∠4 +∠8）= 4×180°， 所以 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180°–（∠5 +∠6 +∠7 +∠8） . 而 ∠5 +∠6 +∠7 +∠8 = 360°. 因此 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°. 探索 根据 n 边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得 n 边形的外角和据此，请将数据填人表中. 多边形的边数 3 4 5 6 7 … n 多边形的内角和与外角和的总和 … 多边形的内角和 180° … 多边形的外角和 540° 720° 900° 3×180° = 540° 4×180° = 720° 5×180° = 900° 6×180° = 1080° 7×180° = 1260° n·180° 360° （n – 2）·180° 360° 360° 360° 360° 360° 360° 任意多边形的外角和都为360°. 例 3 一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？ 解 设多边形的边数为 n，根据题意，得 n · 72°= 360°. 解得 n = 5. 因此，这个多边形是五边形. 例 4 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，这个多边形是几边形？ 解 设多边形的边数为 n，根据题意，得 （n – 2）· 180 °= 5×360°. 解得 n = ... ...
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