中小学教育资源及组卷应用平台 椭圆轨迹方程及最值问题专题 一、知识梳理 1.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 2.圆锥曲线中常见最值的解题方法 (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 3.求动点轨迹常用方法 求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 二、例题精讲 + 随堂练习 1．在平面直角坐标系内，一动圆与圆外切，同时与圆内切. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设该轨迹与曲线的交点为、，求面积的最大值. 【详解】（1）两圆的标准方程分别为，， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，所以，，所以，圆内含于圆， 设动圆的半径为，由题意可得， 所以，， 所以，动圆圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为，焦距为的椭圆， 该椭圆的短轴长为，则，， 因此，动圆圆心的轨迹方程为； （2）在曲线上任取一点，即，则， 即点在曲线上，所以，曲线关于轴对称， 由于，设点为第一象限内的点，则点， ，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的面积为. 2．已知椭圆C：的右焦点为，过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1. 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程 （Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值. （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值. 【详解】（Ⅰ）椭圆C：的右焦点为 所以 当与轴垂直时，线段长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得 解得. 所以椭圆C的方程为 （Ⅱ）当与轴垂直时，，此时 当与轴不垂直时，因为，所以 设，直线的斜率为 ，则直线的方程为 又，所以 又，所以可得即 联立方程组消去得 所以， 代入上式可得. （Ⅲ）= 可设此时直线方程为，联立方程组消去可得： ，所以，，. 所以== ， 当且仅当时取等号， 此时，即直线斜率为 3．已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点. （1）求E的标准方程； （2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求△CDM的面积的最大值. 【详解】（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以. 又因为，解得. 故椭圆E的方程为； （2）如图所示，设点. ，且A，D，M三点共线，，得，又 所以， 同理得，又， 因此四边形的面积. 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入上式得. 设过点M且与直线平行的直线l的方程为， 当l与椭圆相切时，M到AB的距离d最大，为两平行线之间的距离，得面积最大. 联立整理得， 所以，解得. 所以直线l的方程为，即， 所以. 所以△CDM的面积的最大值为. 4．已知椭圆：的离心率，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值． 【详解】（1）根据条件有，解得，所以椭圆． （2）根据，可知，分别为的中点， 且直线斜率均存在且不为0，现设点， 直线的方程为，不妨设， 联立椭圆有， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
