专题3 规律探究问题 规律探究性问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，题目的情景给出有限的几项，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出共同特征，或者发现变化的趋势，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系． 解题方法和步骤是： 1．通过对几个特例的分析，利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等), 从特殊到一般，寻找规律并且归纳； 2．猜想符合规律的一般性结论； 3．验证或说明结论是否正确． 数字规律探究 1．观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，… 1，4，7，10，13，16，19，22，25，… 探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，求n的值． 解：第1个相同的数是1＝0×6＋1， 第2个相同的数是7＝1×6＋1， 第3个相同的数是13＝2×6＋1， 第4个相同的数是19＝3×6＋1， …， 第n个相同的数是6(n－1)＋1＝6n－5， 所以6n－5＝103， 解得n＝18. 答：第n个相同的数是103，则n等于18 2．观察“田”字中各数之间的关系，则c的值应是多少？ 解：经过观察可以发现从左到右每个“田”左上角的数字依此是1，3，5，7等奇数，∵最后一个“田”字此位置上的数字为2 021，∴最后一个“田”字应为第1 011个图；观察每个“田”字左下角的数字可以发现规律是2，22，23，24等，∴a＝21 011；同时可以发现每个“田”字右上角的数字依次比左下角的数字大0，2，4，6等，∴到最后一个“田”字应大2 020，∴c＝a＋2 020＝21 011＋2 020 解答数字规律问题的关键是仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题． 数式规律探究 3．按一定规律排列的单项式：a，－2a，4a，－8a，16a，－32a，…，第n个单项式是A A．(－2)n－1a B．(－2)na C．2n－1a D．2na 4．(2020·安徽)观察以下等式： 第1个等式：×(1＋)＝2－， 第2个等式：×(1＋)＝2－， 第3个等式：×(1＋)＝2－， 第4个等式：×(1＋)＝2－， 第5个等式：×(1＋)＝2－， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：__×(1＋)＝2－__； (2)写出你猜想的第n个等式：_____(用含n的等式表示)，并证明． 解：(1)第6个等式：×(1＋)＝2－ (2)猜想的第n个等式：×(1＋)＝2－. 证明：∵左边＝×＝＝2－＝右边，∴等式成立 5．观察下列各式的规律： ①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1； ③3×5－42＝15－16＝－1. 请按以上规律写出第4个算式__4×6－52＝24－25＝－1__． 用含有字母的式子表示第n个算式为__n(n＋2)－(n＋1)2＝－1__． 6．(2021·预测)在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39②，②－①得3S―S＝39－1，即2S＝39－1，∴S＝. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m(m≠0且m≠1)，则1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 020的值是____． 【解析】设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 020①，在①式的两边都乘以m，得mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2 020＋m2 021 ②，②－①得mS―S＝m2 021－1，∴S＝. 解答数式规律问题的常用步骤：①将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；②按规律顺序排列这些式子；③将发现的规律用代数式或等式表示出来；④用题中所给数据验证规律的正确性． 图形特征规律探究 7．(2020·德州)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子 ... ...
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