第一章 三角形的证明 4 角平分线 课时2 三角形三个内角的平分线的性质 三角形的角平分线 三角形的角平分线的应用.（重点、难点） 学习目标 新课导入 角平分线的性质与判定的内容是什么？ 新课讲解 知识点1 三角形的角平分线 例 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 新课讲解 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF. 新课讲解 ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且 PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到 角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 即 ∠A的平分线经过点P. 证明： 新课讲解 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等． 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝_____． 分析： 在△ABC中，∵∠A＝100°， ∴∠ABC＋∠ACB＝80°. 又∵BO，CO分别平分 ∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB＝40°. ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－40°＝140°. 140° 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：DE＝BD＋CE. 新课讲解 证明： ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB. ∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD. 同理可证OE＝CE， ∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE. 新课讲解 练一练 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE＝FD. 连接BF，由题意易知BF即 为∠ABC的平分线，则FM＝FN， 在Rt△ABC中，∵∠B＝60°， ∴∠BAC＝30°. ∴∠DAB＝ ∠BAC＝15°. 解： 新课讲解 ∴∠FDN＝∠DAB＋∠B＝75°， ∠FEM＝∠BAC＋∠ACE ＝30°＋ ∠ACB＝30°＋45°＝75°. ∴∠FEM＝∠FDN. 在△FEM与△FDN中， ∴△FEM≌△FDN. ∴FE＝FD. 新课讲解 知识点2 三角形的角平分线的应用 角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常 与直角三角形的性质、勾股定理其逆定理等综合应 用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”. 新课讲解 例 典例分析 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E, (1) 已知CD＝4 cm，求AC的长； (2) 求证：AB＝AC＋CD. 新课讲解 ∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂 足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴∠BDE＝90°－45°＝45° . ∴ BE＝DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， ∴ AC＝BC＝CD＋BD＝ (1)解： 新课讲解 由(1)的求解过程易知， Rt △ACD≌Rt△AED(HL). ∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等) ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. (2) 证明： 新课讲解 练一练 已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是( ) A．P为∠A与∠B的平分线的交点 B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC，AB两边上的高的交点 D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 B 课堂小结 三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用. 当堂小练 1.到三角形三边距离相等的点的个数是( ) A．1 B ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
