3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养． 1．倾斜角的相关概念 (1)两个前提： ①直线l与x轴相交； ②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用： ①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； ②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？ [提示] 都不对． 2．斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k＝tan α． (3)斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) (4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝． 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°. 1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( ) A．45° B．135° C．0° D．无法计算 B [根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.] 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( ) A.0° B．45° C．60° D．90° A [∵k＝＝0，∴θ ＝0°.] 3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( ) A.5 B．8 C． D．7 C [由斜率公式可得＝1，解之得m＝.] 4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( ) A. B． C.1 D． A [由题意可知，k＝tan 30°＝.] 直线的倾斜角 【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( ) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135° D [根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A.α B．180°－α C.180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 直线的斜率 【例2】 (1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为( ) A.(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C.(2，0) D．(0，－8) (2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( ) A.(－1，0] B．[0，1] C.[1，2] D．[0，2] (1)B (2)D [(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8). (2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意 ... ...
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