【中考冲刺】圆证明中的几何性质（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 【中考冲刺】圆证明中的几何性质 一、角度证明： 圆周角与圆心角 圆内接四边形定理 等量代换，等价代换 全等与相似的寻找 辅助线技巧：半径相等可得角相等 锐角三角函数值相等的角 二、长度计算： （1）垂径定理（勾股定理，30度角所对边） （2）切线长定理 （3）等量代换（全等） （4）辅助线技巧：中线定理，中位线 三、切线证明： （1）找角相加为90° （2）找全等，相似转证角相等 （3）用勾股定理证明 （4)证明△另外两个角相加90° （5）辅助线：作垂直，连直径找圆周角凑90° 四、面积计算： （1）分割法 （2）补减法 五、其他辅助 （1）注意平行的条件 （2）注意隐藏的全等关系 （3）注意多垂直的等量关系 （4）注意使用锐角三角函数 【常规圆前两问】：证明切线+面积/边长/角度/ 【例1】如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D，连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 解：（1）证明：连接OB交AC于E，由∠BCA＝30°，∴∠AOB＝60°． 在?AOE中，∵∠OAC＝30°，∴∠OEA＝90°，所以OB⊥AC． ∵BD∥AC，∴OB⊥BD． 又B在圆上，∴BD为⊙O的切线； （2）由半径为8，所以OA=OB=8． 在?AOC中，∠OAC＝∠OCA＝30°，∠COA＝120°，∴AC＝8． 由∠BCA＝∠OAC＝30°，∴OA∥BC，而BD∥AC，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BD＝8． ∴?OBD的面积为×8×8＝32，扇形OAB的面积为×π×82＝， ∴阴影部分的面积为32－． 【变式1】如图，在△ABC中．∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠BCP＝∠BAC． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若BC＝3，cos∠BCP＝，求点B到AC的距离． 【考点】切线的性质、三角函数 【解答】解：（1）连接AN，则AN⊥BC， ∵∠ABC＝∠ACB，∴△ABC为等腰三角形， ∴∠BAN＝CAN∠＝α＝BAC＝∠BCP， ∠NAC+∠NCA＝90°，即α+∠ACB＝90°， ∴CP是⊙O的切线； （2）∵△ABC为等腰三角形， ∴NC＝BC＝， cos∠BCP＝＝cosα，则tanα＝， 在△ACN中，AN＝＝， 同理AC＝， 设：点B到AC的距离为h， 则S△ABC＝AN×BC＝AC?h， 即：×3＝h， 解得：h＝， 故点B到AC的距离为． 【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长． 【考点】切线的判定、三角函数、勾股定理 【解答】解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：连接AC， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵CF＝CD， ∴∠CAF＝∠EAC， ∵AC＝CE， ∴∠E＝∠EAC， ∵∠B＝∠E， ∴∠B＝∠FAC， ∵∠B+∠BAC＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝90°， ∴OA⊥AF， 又∵点A在⊙O上， ∴直线AF是⊙O的切线； （2）过点C作CM⊥AE， ∵tan∠CAE＝， ∴＝， ∵AC＝10， ∴设CM＝3x，则AM＝4x， 在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2， ∴（3x）2+（4x）2＝100， 解得x＝2， ∴AM＝8， ∵AC＝CE， ∴AE＝2AE＝2×8＝16． 【变式3】如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB。 （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点。 ①求∠AQB的度数； ②若OA=18，求弧AmB的长。 【考点】直线与圆的位置关系，扇形的弧长，圆心角于圆周角关系、等腰三角形 【解答】解（1）连接OB ∵CP=CB ∴∠CPB=∠CBP ∵OA⊥OC ∴∠AOC=90° ∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∵∠PAO+∠APO=90° ∴∠ABO+∠CBP=90° ∴∠OBC=90° ∴BC是⊙O的切线 （2）①∵∠BAO=25° OA=OB ∴∠BAO=∠OBA=25° ∴∠AOB=130°∴∠AQB=65° ②∵∠AOB=130° OB=18 ∴l弧AmB ... ...