第3节 线段的垂直平分线 （第2课时） 第一章 三角形的证明 2020-2021北师大版八年级数学下册 1 掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理. 2 已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形. 学习目标 作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？ P 三条边的垂直平分线交于一点P 线段的垂直平分线的性质定理和判断定理. 新课导入 三角形三边的垂直平分线 知识点一 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图,在△ABC中，边AB的垂 直平分线与边BC的垂直平分线 与边BC相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线 经过点P，且PA＝PB＝PC. P A B C 探究新知 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． 同理PB=PC．∴PA=PC． ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P． 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． ①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部 ③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部 ②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处 例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝_____． 38° 例题讲解 解：图，连接OA， ∵O为AB，AC的垂直平分线的交点， ∴ OA＝OB＝OC. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6. ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝∠BAC＝52°. ∴∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)＝180°－2×52°＝76°. ∴∠6＝ ×76°＝38°， 即∠OCB＝38°. 线段垂直平分线的作图及应用 知识点二 议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ A1 D C B A a h ( ) D C B A a h A1 D C B A a h A1 可以画出无数个三角形 （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？ 可以画出无数个三角形 （3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确定的. 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗? 用尺规作已知线段的垂直平分线的方法： 已知：线段AB(如图)． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D. ②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线(如图)． 试一试 例2 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形. 已知：如图，线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h. a h 例题讲解 作法: （1）作线段BC=a(如图) （2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h （4）连接AB,AC△ABC为所求的等腰三角形 h a B C A D m 例3 如图，河流AB的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P供水，要使供水路径最短，求作供水站M的位置． 例题讲解 解：如图，作法：①以P为圆心，以适当的长度为半径画弧，交直线AB于C，D两点． ②作线段CD的垂直平分线MN，交CD于M，M点就是所求作的点． 1 三角形三边的垂直平分线的交点( ) A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D．不能确定 课堂练习 2 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 3 已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的 ... ...
