3.3 垂径定理 课件（共23张PPT）

数学北师大版 九年级 3.3 垂径定理 ③AM=BM, ●O A B C D M└ ① CD是直径 ② CD⊥AB ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 条件 结论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 是轴对称图形，对称轴是CD 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 归纳总结 推导格式： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C . O A E B D ∵CD⊥AB， ∴AM ＝ BM，∠AOC ＝ ∠BOC， ∴ ＝ ， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC， ∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC， ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD ∴ ＝ . 证法二：连接OA，OB， 则OA ＝ OB， 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言叙述定理： ∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB， ∴AM＝BM， ＝ ， ＝ . 知识点一：垂径定理 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 上图是轴对称图形，对称轴是CD. AM＝BM 想一想： 求证：平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧. 已知，如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O 的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM， 求证：CD⊥AB， ＝ ， ＝ . 证明：连接OA，OB，则OA＝OB， ∵ AM＝BM ，∴ CD⊥AB ，∠AOC＝∠BOC， ∴ ＝ ， ∵∠AOD ＝ 180°－∠AOC，∠BOD ＝ 180°－∠BOC， ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD ∴ ＝ . 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言叙述定理： 垂径定理的逆定理 ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径， ∴CD⊥AB， ＝ ， ＝ . 已知其中两个条件,就可推出其余三个结论。 如图，在同圆中，如果具备下列条件： （1）CD是直径； （2）CD⊥AB； （3）AM ＝ BM； （4） ＝ ； （5） ＝ ， 1.平分弦所对的弧 2.平分弦 (不是直径)3.垂直于弦 4.经过圆心　　　　　　 例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即 图中 ，点O是 所在圆的圆心）.其中 CD＝600m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF＝90m.求这段弯路的半径. 解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 在Rt△OCF中，由勾股定理得： OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 解得：R＝545， ∴这段弯路的半径为545m. 例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD E . A C D B O 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， ┐ 练习.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。 （1）两条弦在圆心的同侧 （2）两条弦在圆心的两侧 1.两条弦在圆心的同侧 证明：连接OA、OB、OC、OD， 作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， 由垂径定理，得： ＝ ， ＝ , ∴∠AON ＝∠BON，∠CON ＝ ∠DON ∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON 即 ∠AOC ＝ ∠BOD ∴ ＝ 2.两条弦在圆心的两侧 证明：连接OA、OB、OC、OD， 作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， 由垂径定理，得： ＝ ， ＝ , ∴∠AOM＝∠BOM，∠CON＝∠DON ∵∠AOM＋∠AOC ＋ ∠ ... ...