直线与圆锥曲线位置关系解题策略

直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一） 众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题： 　　（1）条件或目标的等价转化； （2）对于交点坐标的适当处理。 　　本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。 　　一、条件或目标的认知与转化 　　解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知———认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。 　　1、化生为熟 　　化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。 　　（1）向弦中点问题转化 　例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为 　　（1）求双曲线方程；　　（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围。 　　略解：（1）所求双曲线方程为（过程略） 　　（2）由 消去y得： 　　由题意知，当 时， 　　 ① 　　设 中点 　则C、D均在以A为圆心的同一圆上 又 ∴ ② 　　于是由②得 ③　　由②代入①得 ，解得m<0或m>4　④ 　　于是综合③、④得所求m的范围为 　　（2）向弦长问题转化 　例2．设F是椭圆 的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足 （1）求点P的轨迹C2的方程； 　　（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使 成立的直线l 的方程。 　　分析：为避免由代换 引发的复杂运算，寻觅替代 的等价条件：设弦AD、BC的中点分别为O1、O2，则，故 ，据此得 于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。 　　略解：椭圆C1的中心 点P分 所成的比λ=2。 　　（1）点P的轨迹C2的方程为 （过程略） 　　（2）设直线l的方程为 ①　 ①代入椭圆C1的方程得　 ，故有 　　故弦AD中点O1坐标为 　　 ② 　　①代入椭圆C2的方程得 ， 　又有 故弦BC中点O2坐标为 ③ 　　∴由②、③得 ④　　注意到 　　　⑤ 　　于是将②、③、④代入⑤并化简得： 　由此解得 。 　　因此，所求直线l的方程为 　　2．化繁为简 　　解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。 　　（1）借助投影 　　对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。 　　例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线 于P1 、P2两点，在线段P1 、P2上取一点Q，使 、 、 的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。 　　解：设 　又设直线l的方程为 ① 　　①代入 得 　　由题意得 或 　② 　　且 ③　　又由题意得 ④ 　　作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1′、Q′、P2′（如图） 又令 ... ...