中小学教育资源及组卷应用平台 专题09：等式与不等式 一、单选题 1．已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【解答】因为随机变量，且，则，可得， ， 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为. 故选：B. 【点评】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2．设，，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算求解即可. 【解答】，当且仅当，即，时“＝”成立． 故选：B. 【点评】思路点睛:（1）已知，求的最值的方法是＝，然后展开，结合基本不等式求得；（2）已知，求的最值的方法类似上面解法，即＝，然后结合基本不等式求解． 3．已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解答】由题意，正数是关于的方程的两根， 可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 经检验知当时，方程有两个正实数解. 所以的最小值为. 故选：C. 【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．若，满足约束条件，且的最大值为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据约束条件作出可行域，结合图形移动直线，观察经过点时取得最值，求出坐标代入目标函数求解即可. 【解答】解：由约束条件得如图所示区域， ，代入， 得，解得. 故选：D. 【点评】利用线性规划求目标函数最值问题的步骤： （1）作图———画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线； （2）平移———将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较； （3）求值———解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值或根据最值求参数. 5．已知x，y满足约束条件，则的最大值为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程：，可得点A的坐标为：， 据此可知目标函数的最大值为：. 故选：A 【点评】方法点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 6．设满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【解答】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 由得：， 当取最小值时，在轴截距最小， 由图象可知： ... ...
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