七年级数学下册竞赛知识点讲解： 一次方程组的应用（无答案）

七年级数学下册竞赛知识点讲解： 一次方程组的应用 一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在： 首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决． 其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易．一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题． 例题 【例1】 ，则= ． 思路点拨 三个未知数两个等式x、y、z的值不惟一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程组． 【例2】 方程的整数解的个数是( )． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨 把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l，于是一个等式可裂变为两个等式． 注：当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设，重新联立解三元一次方程组，读者不妨一试． 【例3】 项王故里的门票价格规定如下表： 购票人数 l～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 5元 4．5元 4元 某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元． (1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱? (2)两班各有多少名学生? 思路点拨 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，则有以下三种可能情况：51≤x≤100，1≤y≤50；51≤x≤100，5l≤y≤100；x>100，1≤y≤50．故分类讨论是解本例的关键． 【例4】 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．现在厂家要求不超过15天完成全部工程，可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由． (天津市中考题) 思路点拨 求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策． 【例5】 某果晶商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克6水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1．2元，C水 果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441．2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元? (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数人手，运用整体方法求解． 注： 现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的方式出现在人们面前，用表格的形式．给出已知信息，是近年中考应用题的新特点，解速类问题的关键是： (1)从表头中了解对象，从表列(行)中得到数据； (2)处理数据，寻找隐含的规律． 在信息化社会，我们时刻面对著汹涌而来的各种数字、数据，对数据进行恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代人必备的基本素养． 【例6】 两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点 km的地方返回． 思路点拨 要使甲车尽量走 ... ...