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课件网) 人教A版（2019） 选择性必修第三册 6.3.2 二项式系数的性质 新知导入 计算(a+b)n展开式的二项式系数 二项式系数: ，，，...， n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 新知导入 将上表写成如下形式： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 新知导入 思考：通过上表和上图，能发现什么规律？ 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等， 即每一行都具有对称性. 在相邻的两行中，除了开头和结尾的两个数外，其他每个数都等于它肩上两个数之和. 第n（n∈N ）行的各数之和为2n 当n=2,4,6时，中间一项值最大；当n=1,3,5时，中间两项值最大. . 新知讲解 二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一性质可直接由公式得到，对称轴为r=n/2 （2）增减性与最大值 因为 即，由 当 时， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知, 它的后半部分是逐渐减小的. 新知讲解 当n是偶数时，中间的一项取得最大值. 当n是奇数时，中间的两项和相等,且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和 已知 (1+x)n = 令x=1 得(1+1)n= 所以，(a+b)n的展开式的各二项式系数之和为2n 例题讲解 例1 求证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式 (a+b)n=中， 令a=1,b=-1，得 ( 1-1 )n= 即 因此 即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 例题讲解 例2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和. 解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. （1）二项式系数之和为：. （2）各项系数之和为：a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加得a0＋a2＋a4+a6+a8=(59-1)/2， 则所有奇数项系数之和为(59-1)/2. 例题讲解 例3 在的展开式中 （1）求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项? 解：展开式的通项公式为 (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，因此 (2)设第k+1项系数的绝对值最大，则，即 解得k=5或k=6，故系数绝对值最大的项是第6项或第7项. 课堂练习 2．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 C 1．展开式中各项系数之和为（ ） A．26 B．36 C．46 D．1 A 3．的展开式中系数最大的项为（ ） A．第4项 B．第5项 C．第7项 D．第8项 B 课堂练习 4. 已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（ ） A． B． C．7 D．70 C 5．的展开式中，系数最大的项是 ( ) A．第项 B．第n项 C．第n+1项 D．第n项与第n+1项 C 6. 若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+...+a7x7 ，则a0+a2+a4+a6= （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 B 课堂练习 7．已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64， 则m=（ ） A． B． C．4 D． 7 B 拓展提高 8. 设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2+...+ a15x15 求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+...+ a15 (2) a1+ a3+ a5+...+ a15 解：（1）令x=0可得115=a0，则a0=1 令x=1可得015=a0+a1+a2+...+a15， 所以 a1+a2+...+a15=-a0=-1. （2）令x=-1 可得 215=a0-a1+a2-a3+...-a15 ① 令x=1 可得 015=a0+a1+a2+a3+...+a15 ② ①-② 得：215=-2(a1+a3+a5+...+a15 ) 所以a1+a3+a5+...+a15=-214. 拓展提高 9．在 的展开式中. 求：（1）所有项的系数和； （2 ... ...
