第三讲 数列与不等式 第一节 数列及其应用 数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间. 考试要求（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 题型一 等差、等比数列的概念与性质 例1．（1）已知等比数列中，各项都是正数，且、、2成等差数列，求 ; （2）等差数列的前n项和为，已知，, 求 . 【点拨】（1）依据等差中项的概念先求等比数列的公比，再利用等比数列的性质求值. （2）此题的算法较多，如何寻找合理、简捷的运算途径是解决问题的关键，根据等差数列的性质， 由第一个条件得出，再由第二个条件列出方程求. 【解】（1）依题意可得：，即，则有可得，解得或（舍） 所以; （2）因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0， ＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10， 【易错点】（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻. 变式与引申1：等差数列的前n项和为，公差 . （1）求的值; （2）当为最小时，求的值. 题型二：数列的通项与求和 例2．（2011年全国卷理科第17题）等比数列的各项均为正数，且 （Ⅰ）求数列的通项公式. （Ⅱ?）设 求数列的前项和. 【点拨】（1）等比数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据裂项相消求数列前 项和 . 【解】 （Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。 由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。 （Ⅱ?） 故 所以数列的前n项和为 【易错点】（1）没有注意条件a>0，公比计算错；（2）在求的通项公式时，遗漏了负号；不会将化为. 变式与引申2已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）. （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设的前n项和，求. 3. 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （2）当b=2时，记 求数列的前项和. 题型三：数列的实际应用 例3. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项. (1)求数列和的通项公式； (2)求视力不小于5.0的学生人数； (3)设,求数列的通项公式. 【点拨】（1）频率分布直方图是解决问题的关健；（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）求得、后，根据题设条件，按递推公式求通项公式方法求出. 【解】(1)由题意知 因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此数列是 ... ...
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