第八讲 运用数学思想方法解题的策略(文) 第一节 运用函数与方程思想解题的策略 函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，难度值一般控制在之间. 考试要求：考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系.方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程. 题型一 构造函数和方程解题 例1.已知，（、、），则有（ ）. A. B. C. D. 点拨：方法一通过化简，敏锐地抓住数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件求得；方法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题． 解：方法一：依题设有 ∴是实系数一元二次方程的一个实根； ∴ ∴ 故选B. 方法二：去分母，移项，两边平方得： ∴ 故选B. 易错点：不能合理地转化为是、的函数或构造来解题. 变式与引申1：(2009年山东文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则( ). A. B. C. D. 题型二 函数、方程、不等式三者之间的相互转化 例2.已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围． 点拨：首先明确本题是求的取值范围，这里注意另一个变量，不等式的左边恰是的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键． 解：∵，∴，从而 原题转化为：恒成立，为的一次函数（这里思维的转化很重要） 当时，不等式不成立．∴． 令＝为的一次函数，，问题转化为在上恒大于0，则，解得：或 易错点： “主元”的选取容易选错，误认为是关于的二次函数，导致错误. 变式与引申2：设不等式对于满足的所有的值都成立，求的取值范围. 题型三 函数与方程在解析几何中的应用 例3.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 点拨：（1）由右焦点的坐标求得，设左焦点为，由椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程；（2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线方程和椭圆的方程联立，表示出直线与的距离，由距离等于4列方程解得. 解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且左焦点为， 从而有，解得 又，所以，故椭圆的方程为 （2）假设存在符合题意的直线，其方程为 由得,因为直线与椭圆有公共点， 所以有 解得 另一方面，由直线与的距离为4，可得，从而 由于，所以符合题意的直线不存在. 易错点：忽略. 变式与引申3：已知的边边所在直线的方程为满足, 点在AC边所在直线上，且满足． （I）求AC边所在直线的方程；（II）求外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与的外接圆外切， 求动圆的圆心的轨迹方程． 题型四 应用函数与方程研究实际问题 例4.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行 ... ...
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