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课件网) 1.3.2 函数的极值与导数 知 识 回 顾 1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数; 则f(x)为减函数. ２、用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1） （3） 求出函数的导函数 （2） 求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f′(x)<0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值. 一、函数极值的定义 新 课 讲 授 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。 注 意 2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 二、导数的应用：求函数的极值 1、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)>0，在x0右侧附近f′(x)<0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值。 2、如果x0是f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值。 例１：求f（x）＝x２－x－２的极值. 解： (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值. 3、 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根 (x为极值点.) 解： 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 令y′=0，解得x1=－2，x2=2 ∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=17/3 当x=2时，y有极小值且y极小值=-5 极小值-5 0 2 ↗ ↘ 极大值17/3 ↗ + － 0 + (2,+∞) (-2,2) -2 (-∞,-2) x y’=x2-4 例3:下列函数中，x=0是极值点的函数 是( ) A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－x D.y=1/x 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。 B ∴a=2. 例4:函数 在 处具有极值，求a的值 分析：f(x)在 处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出a的值. 解： ∵ ∴ 例5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处 有极值，求a、b的值 解： ∴ 因为在x=1和x=2处,导数为0 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对 C ， 解:由题设条件得： 解之得 通过验证，都合要求，故应选择A。 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 例6: 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 =0.当 =0时. ①如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值. 即“峰顶” 即“谷底” 小结 ... ...
