6.3 三角形的中位线 第六章 平行四边形 重点难点 3.利用三角形中位线定理解决问题.（难点） 1.理解并掌握三角形中位线的概念 2.理解并掌握三角形中位线的性质定理及其推导过程（重点） 平行四边形的性质与判定 性质 判定 边 角 对角线 推论 平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等 平行四边形的①对角相等②邻角互补 平行四边形的对角线互相平分 夹在两条平行线间的平行线段相等 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 对角线互相平分四边形 复习导入 预习检测 连接三角形两边中点的线段叫做 . 三角形的中位线 三角形中位线定理:三角形的中位线 于第三边,且等于第三边的 . 一半 平行 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? 连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形? 四个全等的三角形. 你能设法验证上面的结论吗? 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 猜一猜,三角形中位线有什么性质? B C A D· ·E ·F 新课讲授 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 已知:如图,DE是△ABC的中位线. 分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等. D E B C A 求证:DE∥BC, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). ∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD∥CF. ∵AD=BD, ∴BD=CF. D E B C A F ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC, (一组对边平等且相等的四边形是平行四边形) 三角形中位线性质的运用 利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. B C A D E F 证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS). 分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等. 运用中位线的 “模型” 如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立. 求证:四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点. 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 例.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别是边 BC,AC的中点,过点E作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F,求∠F的度数. 解:∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B =60°. ∵点 D,E 分别是边BC,AC 的中点， ∴DE∥AB, ∴∠EDC= ∠B =60° ∵EF⊥DE,∴∠DEF =90°. ∴ ∠F =90°-∠EDC=30° 1.在△ABC 中,已知 D,E分别为边 AB,AC 的中点,连接 DE,若∠A=50° ，∠B=60°,则∠AED 等于（ ）. A.70° B.67.5° C. 65° D.60° 2.如图,在?ABCD 中,AD =4,点 E,F 分别是 BD,CD的中点,则 EF 等于（ ） A. 2 B.3 C.4 D.5 3.如图,?ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于 点O,点 E 是 CD 的中点,BD=12,则△DOE 的周长为（ ） A.15 B.18 C.21 D.24D A A A 随堂练习 已知：如图，△ABC点D是AB的中点，过D作DE∥BC交AC于E. 求证：DE是△ABC的中位线. 拓展提升 证明：过E作EF∥AB交BC于F， F ∵DE∥BC, ∴四边形BFED是平行四边形. ∴∠ADE=∠B， ∴DB=EF. ∵点D是AB中点.∴AD=DB ∴AD=EF. ∴△ADE≌△EFC. ∴AE=EC. ∴点E是AC中点. ∴DE是△ABC的中位线. ∴∠A=∠CEF，∠B=∠EFC ∴ ... ...
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