中小学教育资源及组卷应用平台 专题08. 空间几何（解答题）-备战2022年高考真题专项汇编（2017-2021） 【解答题组】 1．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【详解】（1）因为底面，平面，所以， 又，，所以平面， 而平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以， 从而，设，， 则，即，解得，所以． 因为底面，故四棱锥的体积为． 【点睛】本题第一问解题关键是找到平面或平面的垂线，结合题目条件，所以垂线可以从中产生，稍加分析即可判断出平面，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积． 2．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】(1)如图所示，连结AF， 由题意可得：， 由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面， 而平面，故， 从而有，从而， 则，为等腰直角三角形， ，. (2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则，又， 故平面，而平面，从而. 【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化. 3．（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可. 【详解】 （1）因为长方体,所以平面, 因为长方体,所以四边形为正方形 因为平面,因此平面, 因为平面,所以； （2）在上取点使得,连, 因为,所以 所以四边形为平行四边形， 因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面， 因此在平面内 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 4．（2020·全国高考真题（文））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P?ABC的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得 ，即，从而证得平面，即可证得结论； （2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论. 【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面， 在上，， 是圆内接正三角形，，≌， ，即， 平面平面，平面平面； （2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为， ，解得，， 在等腰直角三角形中，， 在中，， 三棱锥的体积为. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的 ... ...
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