中小学教育资源及组卷应用平台 《课程学习 最短路径问题》练习 一、选择———基础知识运用 1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）21cnjy.com A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）21·cn·jy·com A． B． C． D． 3．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为（ ） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 4．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）2·1·c·n·j·y A．（-2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0） 5．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）21·世纪 教育网 A．30° B．45° C．60° D．90° 二、解———知识提高运用 6．如图：已知四边形ABCD，∠BAD=120°，CB⊥AB，CD⊥AD且AB=AD=3，点E，F分别在BC，CD边上，那么△AEF的周长最短是 。 7．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？2-1-c-n-j-y 。 8．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值。 9．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小。如图建立直角坐标系。21 cnjy com （1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式。【来源：21cnj y.co m】 （2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值。 参考答案 一、选择———基础知识运用 1．【答案】B 【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B。 2．【答案】B 【解析】作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M。根据最短路线问题，B选项图形方案符合。故选B。【来源：21·世纪·教育·网】 3．【答案】C 【解析】如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″， 由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与OA、OB的交点即为C、D， △CPD周长的最小值=P′P″， 由轴对称的性质，∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=20cm， 所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°， 所以，△OP′P″是等边三角形， ∴PP′=OP′=20cm。 故选：C。 4．【答案】C 【解析】作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP， 则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小， ∵A（-2，4） ... ...
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