一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1．计算 ▲ ． 2． 5个人排成一排，其中甲不站在排头也不站在排尾的不同排列方法种数为 ▲ ．(用数字作答) 3．用反证法证明命题“都是整数，且能被5整除，那么和中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为 ▲ ． 4．复数的虚部是 ▲ ． 5．用数学归纳法证明 （）时，第一步应验证的不等式是 ▲ ． 6．函数的单调增区间为 ▲ ． 7．若直线与曲线相切于点，则 ▲ ． 8．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为 ▲ ． (用数字作答) 9．已知函数的导函数为,且满足,则= ▲ ． 10．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为M，m，则= ▲ . 11．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 ▲ ．(用数字作答) 12．已知为定义在R上的偶函数，在时恒成立，且，则不等式的解集为 ▲ ． 13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则＝ ▲ . 14．已知虚数满足，则的取值范围是 ▲ ． 二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分） 已知复数当实数取什么值时，复数是： （1）零；（２）纯虚数； （３） 16．(本小题满分14分) 求证： ; 17．（本题满分15分） 已知函数的图象过点P,且在点M处的切线方程为. (1) 求函数的解析式; (2) 求函数的单调区间. 18．（本题满分15分） 设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 19．（本题满分16分） 已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论。 20．（本题满分16分） 已知． （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）设实数，求函数在上的最大值. （3）证明对一切，都有成立． 高二数学（理科）答案 一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1． 1 2． 72 3． 和都不能被5整除 4． 5． 6． 7．4 8． 120 9． 16 10. 25 11． 420 12． 13． 11 14． [7，13] ． 16．(本小题满分14分) 求证： ; 证明： ∵, , ; ……………………………9分 将此三式相加得 2, ∴……………………………14分 18．（本题满分15分） 设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 解：（Ⅰ）， 因为函数在及取得极值，则有，． 即……………………………5分 解得，．……………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 当时，； 当时，； 当时，．……………………………10分 所以，当时，取得极大值，又，． 则当时，的最大值为．……………………………12分 因为对于任意的，有恒成立， 所以 ， 解得 或， 因此的取值范围为……………………………15分 19．（本题满分16分） 已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论。 解： (1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－ ……………………5分 (2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；……………………………………8分 ②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－, ………………………………10分 当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－, 即当n＝k＋1时,命题成立. ………………………15分 根据①②得n∈N+ , an＝2－都成立 ………16分 20．（本题满分16分） 已知． （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）设实数，求函数在上的最大值. （3）证明对一切，都有成立． 20.解： （1）定义域为 又 函数的在处的切线方程为： ，即 ... ...
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