第7讲基本不等式及其应用-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（简单，学生版+教师版）

基本不等式及其应用 知识定位 本讲义从以下两方面展开： 利用基本不等式解决极值问题 基本不等式是高中一种常用的不等式，其第一大用处就是在于解决一些极值问题，这在高考与会考中是极其常见的。 基本不等式相关的证明题 基本不等式的另一大用处就是在于通过基本不等式，我们可以导出其他的不等式。在高考中，有关不等式的证明往往要用到基本不等式。 知识诊断 （★★）求函数在时的最小值。 知识梳理 知识点一：基本不等式 二元基本不等式： 当 ，根据完全平方的展开式，有： ，从而我们得到二元的基本不等式： ，等号成立当且仅当 . 二元基本不等式是高中所学的第一个特殊的不等式，是很多不等式内容的基础。当然，需要注意的就是其等号成立的充要条件是 . n元基本不等式 对于n元的情况，我们也有类似的基本不等式： 当 ，我们有： ，等号成立当且仅当这n个数都相等。 该不等式的证明我们不作要求。 注意到，我们可以把上述不等式等价变形为： ， 我们一般将称为这n个数的算术平均值； 将称为这n个数的几何平均值。 所以，基本不等式就可以描述为算术平均值大于等于几何平均值。 常见题型和方法解析 1. 利用基本不等式解决极值问题 例1（★）） 已知，，，求证： 如果是定值，那么当且仅当时，的值最小； 如果是定值，那么当且仅当时，的值最大。 例2 （★）求函数在时的最小值。 例3 （★★）求函数的最大值 例4 （★★）已知正数满足，求的最小值。 2. 基本不等式相关的证明题 例5（★★）已知，求证： 试题演练 1.（★★）已知，则的最小值是 A． B． C． D． 2．（★★）已知都是正数，且，则的最小值为????????????. 3．（★★）下列结论中 ①函数有最大值??②函数有最大值.?③若，则正确的序号是____ 4．（★★）若正数，满足，则的最小值为??????．基本不等式及其应用 知识定位 本讲义从以下两方面展开： 利用基本不等式解决极值问题 基本不等式是高中一种常用的不等式，其第一大用处就是在于解决一些极值问题，这在高考与会考中是极其常见的。 基本不等式相关的证明题 基本不等式的另一大用处就是在于通过基本不等式，我们可以导出其他的不等式。在高考中，有关不等式的证明往往要用到基本不等式。 知识诊断 （★★）求函数在时的最小值。 答案： 1. 由于，所以根据基本不等式，当时有： 当且仅当时等号成立， 故知当时，原函数在时有最小值 知识梳理 知识点一：基本不等式 二元基本不等式： 当 ，根据完全平方的展开式，有： ，从而我们得到二元的基本不等式： ，等号成立当且仅当 . 二元基本不等式是高中所学的第一个特殊的不等式，是很多不等式内容的基础。当然，需要注意的就是其等号成立的充要条件是 . n元基本不等式 对于n元的情况，我们也有类似的基本不等式： 当 ，我们有： ，等号成立当且仅当这n个数都相等。 该不等式的证明我们不作要求。 注意到，我们可以把上述不等式等价变形为： ， 我们一般将称为这n个数的算术平均值； 将称为这n个数的几何平均值。 所以，基本不等式就可以描述为算术平均值大于等于几何平均值。 常见题型和方法解析 1. 利用基本不等式解决极值问题 例1（★）） 已知，，，求证： 如果是定值，那么当且仅当时，的值最小； 如果是定值，那么当且仅当时，的值最大。 解： （1）因为，所以根据基本不等式： 故知：（当且仅当时取等号）， 这就是说如果是定值，那么当且仅当时，有最小值 同之前的论述易知： 故知：（当且仅当时取等号）， 这就是说如果是定值，那么当且仅当时，有最小值 教学提示：这当然是一道再简单不过的题目，但是却是利用不等式求解极值问题的一个基本结论。这也就是说，当我们遇到求某些数相加的最小值的时候，可以考虑这些数的乘积是否为定值；同样，当我们遇 ... ...