中小学教育资源及组卷应用平台 第四讲 解一元二次方程（公式法） 【学习目标】 1.经历求根公式的推导过程. 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程. 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 【新课讲解】 知识点1：求根公式的推导 用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0).这个方程的根的表达式就是求根公式。下面进行推到，注意学习推导过程。 移项，得：ax2+bx=-c 方程两边都除以a，将方程二次项系数变为1.（目的是利用配方法解方程） 方程两端同时加上一次项系数的一半的平方，配方，得 即 ∵a ≠0,4a2>0 当b2-4ac ≥0时， 上面这个就是一元二次方程的求根公式。两个根分别为： ∵a ≠0,4a2>0 当b2-4ac ＜0时 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。 一定注意：用公式法解一元二次方程的前提是 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 知识点:2：公式法解方程 1.公式法解方程的步骤 （1）变形: 化已知方程为一般形式; （2）确定系数:用a,b,c写出各项系数; （3）计算: b2-4ac的值; （4）判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2-4ac<0，则方程没有实数根。 2.例题解析 【例题1】解方程：x2 +7x–18 =0. 【答案】 x1 =-9, x2 =2 . 【解析】这个一元二次方程：x2 +7x–18 =0.已经是一般形式， 所以这里 a=1, b=7, c=-18. ∵ b 2 -4ac =7 2 –4 × 1× (-18 ) =121>0,方程有两个不等实数根 根据求根公式 即 x1 =-9, x2 =2 . 【例题2】解方程4x2=12x－9 【答案】3/2. 【解析】方程化为：4x2－12x+9=0, 这里 a=4, b=-12 , c=9. ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． x1 =x2 =-b/2a=12/(2×4)=3/2. 【例题3】解方程（x - 2) (1-3x) =6. 【答案】原方程没有实数根. 【解析】去括号 ，得x–2-3x2 + 6x=6, 化为一般式 3x2 - 7x + 8=0, 这里 a=3, b=-7 , c=8. ∵b2 - 4ac=(-7 )2 –4×3×8 =49–96 =- 47 < 0, ∴原方程没有实数根. 知识点3：一元二次方程根的判别式 1.判别式的含义 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.根的判别式使用方法 （1）将一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0，确定a,b,c的值. （2）计算Δ 的值，确定Δ 的符号. （3）判别根的情况，得出结论. 3.判断一元二次方程根的情况的方法 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2 - 4ac> 0时,方程有两个不相等的实数根. 当b2 - 4ac= 0时,方程有两个相等的实数根. 当b2 - 4ac< 0时,方程无实数根. 4.例题解析 【例题4】若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 【答案】B 【解析】方程kx2-2x-1=0 由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即（-2）2-4×k×（-1）>0 ，k≠0. 解得k>-1且k≠0，故选B. 【例题5】不解方程，判断方程3x2+4x－3=0 的根的情况． 【答案】方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． 核心素养提升： 【例题6】在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的 ... ...
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