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课件网) 3.2 函数的基本性质 第三章 3.2.2 奇偶性 学习目标 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念. 2.了解奇偶性的几何意义. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象 新知学习 偶函数 画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共 同的特征？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的 两个数时，函数值是相等的，即 ? ? 对于 ，有 ? ? 对于 ，有 ? ? 常见的偶函数有 ， 等等 偶函数 【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数 是偶函数吗？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所 以不一定是偶函数. ? ? 【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ， 且 ，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数. 要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可 【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A； ②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x) 偶函数 【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式： 【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数 偶函数 偶函数 ? ? 图像关于y轴对称 代数特征 几何特征 定义中， 的常见变形有： ? ? ? 画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共 同的特征？ 奇函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为 相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即 ? 对于 ，有 对于 ，有 ? ? ? ? ? 【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ， 且 ，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称 为奇函数. 奇函数 常见的偶函数有 ， , 等等 【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个 函数是奇函数吗？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ， 所以不一定是奇函数. ? ? ? ? 奇函数 要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可 【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A； ②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x) 【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式： 【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是偶函数 奇函数 奇函数 ? ? 图像关于原点对称 代数特征 几何特征 定义中， 的常见变形有： ? ? ? 如果奇函数在 处有定义，则： ? ? 如何证明 这个结论？ 函数奇偶性的判断 【例题】判断下列函数的奇偶性. 【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： ? ? ? ? ? 所以此函数是偶函数； 【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： ? 所以此函数是奇函数； 【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断： ? ? 所以此函数是奇函数； 【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断： ? ? 所以此函数是偶函数. 判断函数奇偶性，首先要看定义域. ④ 既是奇函数，又是偶函数. 函数奇偶性的判断 利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定 义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要. 【2】二看等式：满足第一点之后，判断 与 的关系： 函数 既是奇函数，又是偶函数 ? ? ① 是偶函数； ? ② 是奇函数； ? ③ 是非奇非偶函数； ? ? ? 奇(偶)函数的性质及应用 【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？ 【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R，且有 所以此 函数是奇函数. ? （2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？ ? ? ? ? ? ? (2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 ... ...
