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课件网) 平面向量的正交分解及坐标表示 安徽淮南第四中学 2021.3 新课程标准 核心素养 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 逻辑推理 2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则. 数学运算 温故知新 平面向量基本定理 如果e1、e2是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任何向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使 λ2e2 a= + λ1e1 若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底。 若A、B、C三点共线 ,且λ+μ=1 OA= λOB μOC + 向量的数量积是否为0，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂 直的重要方法之一. 引入新课 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？ O F1 F2 G 重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的压力F2. 把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做向量正交分解. 课堂探究 在平面直角坐标系中,每一个点可以用一对有序实数（即它的坐标）来表示。那么，如何表示直角坐标系平面内的一个向量呢？ 平面向量坐标的概念 在直角坐标系内， (1)取基底: 设与x轴, y轴方向相同的两个单位向量分别为 ，取 作为基底. i, j { i, j } (2) 任作一个向量 ，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得 .我们把(x,y)叫做向量 的坐标， 记作 得到实数对: a a a=(x,y) 其中x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标. a a 如图，在直角坐标系中，以原点O为起点作 ，则点A的位置由向量 唯一确定。 因为 ，所以终点A的坐标 就是 向量 的坐标。这样就建立了向量的坐标 与点的坐标之间的联系。 例1.用基底 , 分别表示向量 , , , ,并求出它们的坐标. i j a b c d -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 4 5 3 A B 请同学们研究此例四个向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点坐标、终点坐标的关系. 一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标 平面向量的坐标运算 思考：已知 ，你能得出 的坐标表示吗？ 结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. = + a b (2,1)+(-3,4)=(-1,5) = - a b (2,1)- (-3,4)=(5,-3) 例3 如右图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是 (-2,1)、(-1,3)、(3,4)， 求顶点D的坐标. O A B C D y x O y x A B C D 设D点坐标为(x,y)，则 BC = (4,3) , AD = (x, y-2) 由 BC = 2 AD，得 4=2x 3=2(y-2) x=2 y= 7 2 ∴ D点坐标为(2, ) 7 2 2．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为_____ 3 5 ( ,- ) 4 5 因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， CN CM=(9,-18) - 4.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． y x o 30° 45° 30° a b c |a|cos 45°= 2 |a|sin 45°= 2 a=( , ) 2 2 |b|cos120°=- 3 2 |b|sin120°= 3 2 3 b=(- , ) 3 2 3 2 3 |c|cos(- 30°)=2 3 |c|sin(- 30°)=2 c=(2 , - 2 ) 3 ... ...
