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课件网) 6.4.1平面几何中的向量方法 安徽淮南第四中学 2021.3 新课程标准 核心素养 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题. 直观想象 2.体会向量是一种处理几何问题的重要工具. 数学抽象 3.能够将几何问题转化为平面向量问题. 数学建模 4.培养运用向量知识解决实际问题的能力. 数据分析 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 一、复习引入 几何元素及其表示 向量及其运算 点A OA 线段AB ，AB两点距离 AB AB = 2 2 |AB| 夹角∠AOB cos θ= a · b a b a b, ∥ λb a = A,B,C三点共线 λ AC AB = 二、探究新知 例1 如右图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE∥BC，DE= BC. 1 2 F 回顾初中的证明过程 思考 根据所学的向量知识，能否将要 证明的结论用向量表示？ 两线平行，想到向量共线；两线段之间数量关系，想到数与向量积的意义.转化为证明 DE= BC ， 1 2 在平面图形中，如何寻找两向量之间的关系？ 选择一组基底，利用平面图形的性质、三角形法则(平行四边形法则) 如图，因为DE是△ABC的中位线 所以， AD= AB ， 1 2 AE= AC 1 2 从而， DE= AE AD - ( ) = AC AB - 1 2 BC= AC AB - 又 所以， DE= BC ， 1 2 于是DE∥BC，DE= BC. 1 2 ①选取基底，并用基底表示相关向量； ②利用向量的线性运算或数量积找相应关系； ③将平面向量运算运算结果还原成平面几何关系. 例2.平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． A B C D 求AC的长，联想到 AC = AC 2 2 ( ) 而 AC = AB AD + 2 2 ( ) 又 BD = AD AB - 2 2 已知与所求的都与AB, AD 有关 ∴2a·b＝1. A B C D 第一步 建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； 如图，取{ AB , AD }为基底，设AB= a, AD=b, 第二步 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， a2－2a·b＋b2＝BD 2 a2＋2a·b＋b2＝AC 2 AC2+BD2=2(AB2+AD2) AC 2+BD 2=2(a +b ) 2 2 第三步 把运算结果“翻译”成几何元素 平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有什么关系吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 建模 第二步 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 第三步 把运算结果“翻译”成几何元素 ， 为单位向量，且|a－b|＝1， a b a2－2a·b＋b2＝1. ∴2a·b＝1. |a＋2b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7 如图，已知平行四边形ABCD中，E,F在对角线BD上，且BE=FD， 求证AECF是平行四边形 A B C D E F 如图，取{ AB , BE }为基底， 设AB= a, BE=b, AE= + a b FC= + b a AE= FC AECF是平行四边形 【总结】 (1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂． (2)向量法解决几何问题体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法． 平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间关系还有其它方法吗？ A B C D 如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设 B (a,0), D(b,c)，则C(a+b,c) AC=(a+b,c) AC = 2 (a+b)2+c2 BD = 2 (a-b)2+c2 AC 2 + BD 2 = 2a2 + 2(b2+c2) AB 2 + AD 2 =2( ) 例3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，BC＝n，D为AB的中点，若E为CD的中点，连结AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． ... ...
