15.2 线段的垂直平分线 【基础练习】 知识点 1 线段垂直平分线的画法 1.如图1,小林同学在一张透明纸上画了一条线段MN,然后对折将点M,N重合,再打开,过折痕画直线AB,交MN于点B,则直线AB是线段MN的 .? 图1 2.如图2,画线段PQ的垂直平分线. 图2 (1)分别以点 和点 为圆心,大于12PQ的长为半径画弧,两弧分别交于点 和点 ;? (2)过点 和点 作直线,则直线 就是线段PQ的垂直平分线.? 知识点 2 线段垂直平分线的性质 3.如图3,C是线段AB的垂直平分线上的一点,垂足为D,则下列结论正确的有( ) ①AD=BD;②∠ADC=∠BDC=90°;③△ACD≌△BCD;④AC=BC. 图3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.[2020·枣庄] 如图4,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( ) 图4 A.8 B.11 C.16 D.17 5.如图5,在△ABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,△BCN的周长是7 cm,则BC的长为( ) 图5 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 6.[2020·合肥瑶海区期末] 如图6,在△ABC中,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,连接AD,AE=4 cm,则△ABC的周长与△ABD的周长的差为( ) 图6 A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 知识点 3 线段垂直平分线的判定 7.已知线段AB外有两点M,N,且MA=MB,NA=NB,直线MN交线段AB于点O,则点O是线段AB的 ,直线MN是线段AB的 .若直线MN上另有一点P,则PA与PB的数量关系是 ,你的依据是 .? 8.如图7,AC=AD,BC=BD,则有( ) 图7 A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 9.下列条件不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是( ) A.MA=MB,NA=NB B.MA=MB,MN⊥AB C.MA=NA,MB=NB D.MA=MB,MN平分AB且点M不在AB上 10.如图8,AB=AC,MB=MC.求证:直线AM是线段BC的垂直平分线. 图8 【能力提升】 11.如图9,在△ABC中,D是AB的中点,且CD⊥AB,若∠A=45°,则∠B= °.? 图9 12.如图10所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,交AC于点F,交AB于点D,∠A=50°,AB+BC=6,则△BCF的周长为 ,∠EFC= °.? 图10 13.如图11,AD垂直平分BC于点D,EF垂直平分AB于点F,点E在AC上,BE+CE=20 cm,则AB= cm.? 图11 14.如图12,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为边DC的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F. 图12 (1)AD与FC的数量关系是 ;? (2)若AD=1 cm,AB=5 cm,则当BC的长为 时,点B在线段AF的垂直平分线上.? 15.[教材练习第1题变式题] 为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,相对位置如图13所示),请用尺规作图的方法确定点P的位置.(要求: 写出已知、求作,不写作法,保留作图痕迹) 图13 16.[2019·合肥长丰县期末] 如图14,已知AB比AC长3 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长. 图14 17.操作实验: 如图15①,把等腰三角形沿顶角的平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称,所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C. 归纳结论:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等(证明略). 探究应用:如图15②,CB⊥AB,垂足为B,DA⊥AB,垂足为A,E为AB的中点,AB=BC, CE⊥BD. (1)BE与AD是否相等,为什么? (2)小明认为AC是线段DE的垂直平分线,你认为对吗?说说你的理由; (3)∠DBC与∠DCB相等吗?试说明理由. 图15 答案 1.垂直平分线 2.(1)P Q M N (2)M N MN 3.D [解析] ∵CD是线段AB的垂直平分线, ∴AD=BD,∠ADC=∠BDC=90°,故①②正确; 又∵CD=CD(公共边), ∴△ACD≌△BCD,故③ ... ...
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