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课件网) 3.1 变化率与导数 课标阐释 思维脉络 1.理解函数平均变化率的意义,会求函数的平均变化率; 2.了解函数瞬时变化率的意义,理解函数导数的概念,会求函数在某一点处的导数; 3.理解导数的几何意义及其应用. 【思考】平均变化率 表示割线P1P2的斜率,Δx,Δy的取值一定是正数吗? 提示:Δx≠0,Δy∈R. 1.函数的平均变化率及其意义 名师点拨 Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,它表示自变量的改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;Δy是相应函数值的改变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2). 【做一做1】 (1)下列说法错误的是( ) A.函数的平均变化率可以大于零 B.函数的平均变化率可以小于零 C.函数的平均变化率可以等于零 D.函数的平均变化率不能等于零 2.瞬时速度 若物体运动的路程与时间的关系式是s=f(t),当Δt趋近于0时,函数f(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率 趋近于一个常数,这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度. 【做一做2】 如果质点M按照规律s(t)=2t2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则该质点在t=3 s时的瞬时速度等于 .? 解析:由于Δs=s(3+Δt)-s(3)=2(3+Δt)2+1-19=12Δt+2Δt2,所以质点在t=3 s时的瞬时速度为 答案:12 m/s 3.导数的概念 名师点拨 对于导数的概念,应注意以下几点: (1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关; (3)导数是一个常数,而不是变量,其实质是一个极限值. 【做一做3】 利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数. 4.导数的意义 【做一做4】 若函数f(x)在x=-2处的导数f'(-2)=1,则曲线f(x)在 (-2,f(-2))处的切线的倾斜角等于 .? 解析:由于斜率k=f'(-2)=1,而tan 45°=1,所以倾斜角θ=45°. 答案:45° 5.导函数 对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即 名师点拨 导数与导函数之间既有区别又有联系,一般地,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,与x,Δx均无关. 【做一做5】 若函数f(x)的导数f'(x)=-3x2+x+1,则f'(-1)= .? 解析:f'(-1)=-3(-1)2+(-1)+1=-3. 答案:-3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 函数的平均变化率及其意义 在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率等于 .? (2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数f(x)的图象上,若f(x)从x1到x2的平均变化率为 ,则曲线y=f(x)的割线AB的倾斜角等于 .? 分析(1)根据平均变化率的定义求解;(2)根据函数平均变化率的几何意义求解. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1); (2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1; 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1(1)已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为( ) A.3 B.0.29 C.2.09 D.2.9 (2)质点运动规律s(t)=2t+3,则t从3到3.3,质点运动的平均速度为( ) A.9 B.9.6 C.2 D.0.2 答案:(1)D (2)C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 例2(1)求函数f(x)=-x2+3x的导数; (2)求函数y=x- 在x=-1处的导数. 分析(1)可按照导数的定义分步求解;(2)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨 ... ...
