中小学教育资源及组卷应用平台 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 课标解读 课标要求 素养要求 1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握“五点法”,能画出正弦函数、余弦函数的图象. 2.了解正弦、余弦函数图象的区别与联系,掌握正、余弦函数图象的简单应用. 直观想象———会用正弦函数、余弦函数的图象解答问题. 自主学习·必备知识 要点一 正弦曲线 正弦函数的图象叫做① 正弦曲线 ,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. 要点二 余弦曲线 余弦函数 的图象叫做② 余弦曲线 .它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 自主思考 1.在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点？ 答案：提示 应抓住五个关键点： . 2.如何画余弦函数的图象？ 答案：提示 在平面直角坐标系中描出 的图象在 上的五个关键点： ,再用光滑的曲线将它们连接起来,将所得的图象不断向左、向右平移（每次移动 个单位长度）,就可得到余弦函数的图象. 名师点睛 1.“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点,这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法. 2.函数 的图象是函数 的图象的一部分. 函数 的图象是函数 的图象的一部分. 3.函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象. 互动探究·关键能力 探究点一 正弦曲线的应用 精讲精练 例 已知函数 的部分图象如图所示,完成下列各题. （1）点 的坐标为 ; （2） , . 答案：（1） （2） ; 解题感悟 先明确正弦曲线在[0,2π]上的五个关键点的坐标,再计算两点间的距离 迁移应用 1.已知函数 . （1）计算 与 的值; （2）若 ,求 的值. 答案： （1） . . （2）若 , 则 , 结合图象（图略）得, . 探究点二 利用“五点法”作函数图象 精讲精练 例 用“五点法”作出 的简图. 答案： 列表： 0 1 0 -1 0 1 3 2 1 2 3 答案： 描点并用光滑的曲线将它们连接起来,如图所示. 解题感悟 “五点法”作形如 （或 的图象时,其步骤如下: （1）列表:取 （2）描点:将表中的点（ , ）标在平面直角坐标系内; （3）连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 迁移应用 1.用“五点法”作出函数 的简图. 答案： 列表： 0 0 1 0 -1 0 1 3 1 -1 1 答案：在平面直角坐标系中描出这五个点： ,然后用平滑的曲线顺次连接起来,就得到 的图象.如图. 探究点三 函数图象的综合应用 精讲精练 类型1 与函数图象有关的交点问题 例1 已知函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点,则实数 的取值范围是 . 答案： 解析：由题意,得 画出函数的图象,如图. 由图象可知, 当 时,函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点. 解题感悟 函数式中含有绝对值符号,首先应去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,并画出函数图象,然后利用数形结合法平移直线 求得参数的取值范围.作图应准确,注意端点值是否满足条件 类型2 利用函数图象解不等式 例2（1）函数 的定义域为 . （2）不等式 的解集为 . 答案： （1） （2） 解析：（1）由题意,得 即 作出 的图象,如图所示. 结合图象可得 . （2）作出正弦函数 在 上的图象,作出直线 和 ,如图所示. 由图可知,在 上,当 时,不等式 成立, 所以原不等式的解集为 解题感悟 （1）可以通过求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．注意端点值是否满足条件. （2）利用三角函数图象解三角不等式 的步骤： ①作出相应的正弦函数（余弦函数）在[0,2π]上的图象． ②确定在[0,2π]上 的 的值． ③写出不等式在区间 上的解集． ④根据公式一写出定义域内的解集 迁移应用 1.使不等式 成立的 的集合是( ) A. B. C. D. 答案： 解析：因为 , 所以 , 作出 在 内的图象,如图所示, 由图可知满足条件的 , 所以使不等式成立的 的取值范围是 . ... ...
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