3.7 正多边形和圆 青岛版九年级（上）数学 正多边形 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 如正五边形满足的条件是 正n边形： 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。 想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正方形 呢?为什么？ 你知道正多边形和圆有什么关系吗？ 正多边形和圆 给你一个圆，怎样就能作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE. ∴ ∠A=∠B. · A B C D E O 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的外接圆. 1：我们以圆内接正五边形为例证明. ⌒ ⌒ ⌒ 1 2 3 A B C D E 4 ⌒ ⌒ 5 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形 弦相等（多边形的边相等） 弧相等— 圆周角相等（多边形的角相等） 多边形是正多边形 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例. 解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形. · A1 A２ A３ A４ A５ A６ A７ An O 先说A1 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. O · 中心角 半径R 边心距r 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. 我们在以前学过了那些正多边形？ 请同学们找出它们的中心，画出它们的半径，边心距和中心角！ （等边三角形，正方形等） E F C D . . O 中心角 A B G 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na. R a 例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积 O A B C D E F R P r 请同学们完成下表中有关正多边形的计算 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 1 60° 90° 120° 120° 90° 60° 2 4 2 2 12 8 2 1 抢答题： 1、O是正 圆与 圆的圆心。 △ABC的中心，它是△ABC的 2、OB叫正△ABC的 ，它是正△ABC的 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC的 ，它是正△ABC的 圆的半径。 A B C .O D 外接 内切 半径 外接 边心距 内切 4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 ; 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 . A B C D .O E 中心 边心距 6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 ， 它是正五边形ABCDE的 圆的半径。 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角， 它的度数是 D E A B C .O F 边心距 内切 中心 72° 8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 它的度数是 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ B A E F C D .O ∠AOB 60° 3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, 边心距＝OD= · A B C D O \BC =2 BD = 3 R 在Rt△OBD中 由勾股定理得： BD= OB2-BD2 = R2 - ( )2 = 3 2 R S△ABC = － BC×AD = － × 3 R × － R = R2 3. 3 4 3 2 2 1 2 1 解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E， ... ...
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