中小学教育资源及组卷应用平台 专题12.3 角平分线的性质 典例体系 一、知识点 1.角的平分线的作法； 2.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 3.证明一个几何中的命题，一般步骤： ①明确命题中的已知和求证； ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程； 4.性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上； 二、考点点拨与训练 考点1：角平分线性质定理及其应用 典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD （1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_____（直接写出答案） （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_____ (用含m,n的代数式表示)． （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC的面积． 【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9 【解析】 解：（1）过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD=DC， ∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1， 故答案为：1：1； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE=DF， ∵AB=m，AC=n， ∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n； （3）∵AD=DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1， ∵S△BDE=6， ∴S△ABD=6， ∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1， ∴S△ACD=3， ∴S△ABC=3+6=9， 故答案为：9． 方法或规律点拨 本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 巩固练习 1．（2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解：在AB上取一点G，使AG＝AF ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝FG ∴CE+EF＝CE+EG 则最小值时CG垂直AB时，CG的长度 CG＝ 故选D． 2．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用A、B．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB 【答案】C 【解析】解：∵OP平分，， ∴，选项A正确； 在Rt△AOP和Rt△BOP中， ， ∴Rt△AOPRt△BOP ∴，OA=OB，选项D正确； ∴PO平分∠APB，选项B正确； 由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项C错误． 故选：C． 3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 （ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解析】解：作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4， ∴△ABD的面积＝AB×DE＝×15×4＝30， 故选：B． 4．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（ ） A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处 C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处 【答案】D 【解析】∵如图，要建一超市到a、b、c三条公路的距离相等， ∴该超市是△ABC的内心， ∴超市应该建在∠α和∠β的平分线的交点处． 故选：D． 5．（2020·河南省初三二模）如图，在中，，以点为圆心，适 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
