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课件网) 第三章 二次函数 7 二次函数与一元二次方程的关系 知识点一 二次函数与一元二次方程的关系 当y＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就成为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.方程若有解，其解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标.因此有如下关系: 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； 当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点； 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点. 知识拓展 ①二次函数刻画的是某一变化过程中两个变量之间的关系；一元二次方程刻画的是这两个变量在变化过程中，当因变量取某一确定值时的情况.如图所示: 知识拓展 例1 抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是_____. 例1 抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是_____. 解析: ∵△＝［2（k-1）］2-4×2×（-k）＝4k2＋4＞0， ∴抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点. 例1 抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是_____. 解析: ∵△＝［2（k-1）］2-4×2×（-k）＝4k2＋4＞0， ∴抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点. 故答案为 2. 例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论:①b＞0；②a-b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜-1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是_____.（填上所有正确结论的序号） 解析 由题图可知，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴b＝-2a，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（-1，0）. ∵a＞0，∴b＜0，∴①错误； 当x＝-1时，y＝0，即a-b＋c＝0，∴②正确； 一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）可以看成是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1的交点， 由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1有两个不同的交点， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根∴③正确； 由题图可知，当x＜-1或x＞3时，y＞0，∴④正确. 解析 由题图可知，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴b＝-2a，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（-1，0）. ∵a＞0，∴b＜0，∴①错误； 当x＝-1时，y＝0，即a-b＋c＝0，∴②正确； 一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）可以看成是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1的交点， 由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1有两个不同的交点， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根∴③正确； 由题图可知，当x＜-1或x＞3时，y＞0，∴④正确. 答案 ②③④ 方法归纳 数形的有机结合与灵活转换是解决此类题的关键. 知识点二 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 由二次函数与一元二次方程的关系，可以用图象估算一元二次方程的根步骤:先利用图象大致求出一元二次方程的根的取值范围，再借助计算器利用两头夹逼的方法探索，逐步缩小方程根的取值范围，最终确定方程的近似根. 温馨提示 通过画函数的图象解一元二次方程可使解题过程直观化，但存在作图的误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 例3 用图象法求一元二次方程x2-2x-1＝0的近似解（精确到0.1）. 解析 令y＝x2-2x-1，则y＝（x-1）2-2,其对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，-2）. 列表如下: 描点、连线，图象如图所示. 由图象知方程有两个根，一个在-0.5和0之间，另一个在2和2.5之间，易知当x＝-0.4或x＝2.4时，y≈0.因此方程x2-2x-1＝0的解的近似值为-0.4或2.4. X -1 -0.5 0 1 2 2.5 3 y 2 0.25 -1 -2 -1 0.25 2 点拨 图象法解方程（ ... ...
