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课件网) 22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 探究与应用 随堂小检测 第二十二章 二次函数 目标 会利用二次函数解决最大利润等问题 问题 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 分析 (1)一件商品的利润如何计算? 一件商品的利润＝售价－进价. (2)商品总利润＝_____×商品的数量或者商品总利润＝总销售额－_____. (3)调整价格包括涨价和降价两种情况,我们先看涨价的情况. 一件商品的利润 总进价 10x (300－10x) (60＋x) (60＋x－40) y＝(20＋x)(300－10x) 5 5 65 6250 ②在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考①的讨论,自己得出答案. 综合①②,每件定价为_____元能使利润最大. 65 例 某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件；若每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖出10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元. (1)求y关于x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围； (2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少元? (3)若每个月的销售利润不低于2200元,求涨价x(元)的取值范围. [解析] (1)根据进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件,再根据每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖出10件和销售利润＝件数×每件的利润,列出函数解析式,即可得出答案.自变量x的取值范围可由“每件售价不能高于65元”以及“x为正整数”得到. (2)根据(1)得出的函数解析式,再进行配方得出y＝－10(x－5.5)2＋2402.5,当x＝5.5时,y有最大值,结合自变量x的取值范围从而得出答案. 解：(1)由题意,得y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15且x为整数). (2)根据(1)得y＝－10x2＋110x＋2100＝－10(x－5.5)2＋2402.5. ∵a＝－10＜0,∴当x＝5.5时,y有最大值2402.5. ∵0＜x≤15,且x为整数, 当x＝5时,50＋x＝55,y＝2400,当x＝6时,50＋x＝56,y＝2400, ∴当每件商品的售价定为55元或56元时,每个月可获得最大利润,最大利润是2400元. (3)在y＝－10x2＋110x＋2100中,令y＝2200,得 －10x2＋110x＋2100＝2200, 即x2－11x＋10＝0,解得x1＝1,x2＝10. 由图象(图略)可知,当y≥2200时,x(元)的取值范围是1≤x≤10且x为整数. 总结与警示 1.利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤 (1)用含自变量的式子表示一件商品的利润以及销售量. (2)根据“总利润＝一件商品的利润×销售量”列出二次函数 解析式. (3)求自变量的取值范围. 总结与警示 (4)判断抛物线顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内. (5)根据(4)的结论确定最值.即：若抛物线顶点的横坐标在 自变量的取值范围内,则顶点的纵坐标是最值；若不在,则 右(或左)端点的纵坐标是最值. 总结与警示 2.利用二次函数求实际问题中最值的“两点注意” (1)若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,则应根 据函数的增减性来确定最值； (2)由二次函数得到的不等式,应先解相应的一元二次方程, 然后再根据图象确定不等式的解集. 1.出售某手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8－x)个,则当x＝_____时,一天出售该手工艺品的总利润y最大. 4 2.已知某商品每件盈利20元,现每天可售出80件,如果每件商品每涨价1元,日销售量就减少3件.设每件涨价x元时(其中x为正整数),每天的总利润为y元,则y关于x的函数解析式为_____. [解析] 每件涨价x元时,每件盈利(20＋x)元,每天的销售量为(80－3x)件,则y关于x的函数解析式为y＝(20＋x)(80－3x)＝－3x2＋20x＋1600. y＝ ... ...
