专题29 函数的极值点问题的探究 一、题型选讲 题型一 、函数极值的求解 例1、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则( ) A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关 【答案】C 【解析】∵， ∴， 令，得，或， 当变化时，、的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴， ， ∴， 故选：C． 变式1、【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； 【解析】（1）因为，所以． 因为，所以， 解得． （2）因为， 所以， 从而．令，得或． 因为都在集合中，且， 所以． 此时，． 令，得或．列表如下： 1 + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极小值为． 变式2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数. (1)求证:当时,对任意恒成立; (2)求函数的极值; 【解析】 (1) ,, 在上为增函数, 所以当时,恒有成立; (2)由 当在上为增函数,无极值 当 在上为减函数,在上为增函数, 有极小值,无极大值, 综上知:当无极值, 当有极小值,无极大值. 题型二、极值的个数的证明与判断 例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点； 【解析】（1）设，则，. 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点， 设为. 则当时，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点. 变式、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．恰有4个极大值点 D．有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数， ， 当时，，则在上单调递增. 显然，令，得， 分别作出，在区间上的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点. 故选：BD. 题型三、由极值点求参数的范围 例3、【2018年高考北京理数】设函数=[]．若在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 【解析】由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0； 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以f (x)在x=2处取得极小值． 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 所以f ′(x)>0． 所以2不是f (x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（，+∞）． 变式1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．若是的极大值点，求． 【解析】（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii）若，设函数. 由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点. . 如果，则当，且时，，故不是的极大值点. 如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点. 如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点 综上，. 二、达标训练 1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得. 故选：D. 2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根， 故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1， 而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p， 故选：B． 3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
