立意能力品自高 ——赏析2012年一道高考题

立意能力品自高 ———赏析2012年一道高考题 马 强（安徽省宿州市曹村中学） 邮编：234100 1．题目：2012年高考数学安徽卷理科第14题： 若平面向量a，b满足，则a·b的最小值是_____。 2．解题探究 由定义a·b= ，可知当达到最大时，=－1即向量a 与 b共线且方向相反时，a·b取得最小值，故有以下三种解法。 解法一：由条件，两边平方得 ， 即， 所以a·b ≥，故a·b的最小值是。 解法二：当a 与 b共线且方向相反时，， 即，所以a·b= ≥，故a·b的最小值是。 解法三：当a 与 b共线且方向相反时，可设b=（m,n）, a= 。 则，由条件得：，即：。 而a·b=。故a·b的最小值是。 3．赏析 3．1立意新 近几年安徽高考数学试卷多以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本概念、基本运算，这对学生来说并不陌生。但今年的高考，平面向量题的命制却偏偏不走录常路，不仅题目短小精悍，而且在题干设置上不落窠臼，仅给出条件不等式，就使考题焕然一新，充满挑战。然而结论却是求a·b的最小值，让人似曾相识，又耳目一新，“身价倍增”。该试题有很强的综合性，要求考生具备扎实的基本功，体现了新课标理念，把它放在第14题的位置，起到了把关的作用，使学生欲罢不能，是一道很有新意的选拨题。 3．2能力强 由于向量具有几何、代数双重工具，因此该题解法多样，入口较宽，但入手后又发现不识庐山真面目。要想完全解答出来，就必须具备较强的思维能力和分析问题、解决问题的能力。首先要根据数量积的概念，抓住两向量共线且方向相反是解决问题的前提，然后正确使用均值不等式。由此可见，该题彰显了“由知识立意转向能力立意”的命题理念，要求学生在较短的时间内能根据自己的知识储备做出选择，对考生的思维监控能力和元认知水平无疑是严峻的考验。 3．3品位高 此题的设计令人回味，发人深思，可谓“余音绕梁，三日不绝”，体现了命题专家非凡的智慧和匠心独运。试题创新是高考的基调之一，也是高考的亮点，它启示我们在数学教学中，教师要改变传统教育观念，加强“四基”教学，重视数学本质的挖掘，重视学生数学素养的培养。当然，把学生培养成为有一定数学视野、能体会数学的美学意义和人文价值等是教师孜孜不倦的追求。