对数函数的图像与性质 【教学目标】 1．进一步熟悉对数函数的图像和性质； 2．会利用对数函数的性质解决数学问题； 3．培养学生数形结合的意识。 【教学重难点】 1．对数函数性质的应用，主要是对数函数单调性的应用。 2．与对数函数相关的函数值域问题。 【教学过程】 一、创设情境 （师）：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数。 反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数。这个熟悉的函数就是指数函数。 （提问）：什么是指数函数？指数函数存在反函数吗？ （学生）：是指数函数，它是存在反函数的。 （师）：求反函数的步骤。 （由一个学生口答求反函数的过程。） 由得。又的值域为， 所求反函数为。 （师）：那么我们今天就是研究指数函数的反函数--对数函数。 二、新课 1．（板书）定义：函数的反函数叫做对数函数。 （师）：由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发。如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗？最初步的认识是什么？ （教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流。） （学生）对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件。 （在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质。） 2．研究对数函数的图像与性质。 （提问）用什么方法来画函数图像？ （学生1）利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图。 （学生2）用列表描点法也是可以的。 请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图。 （师）由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图。 具体操作时，要求学生做到： （1）指数函数和的图像要尽量准确（关键点的位置，图像的变化趋势等）。 （2）画出直线。 （3）的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分。 学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出： 和的图像。（此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内），如图： 教师画完图后再利用电脑将和的图像画在同一坐标系内，如图： 然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质（要求从几何与代数两个角度说明）。 3．性质。 （1）定义域：； （2）值域：。 由以上两条可说明图像位于 轴的右侧。 （3）图像恒过（1，0）。 （4）奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称。 （5）单调性：与有关。当时，在上是增函数。即图像是上升的。 当时，在上是减函数，即图像是下降的。 之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正？学生看着图可以答出应有两种情况： 当时，有；当时，有。 学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第（6）条性质板书记下来。 最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图。且应将其性质与指数函数的性质对比记忆。（特别强调它们单调性的一致性。） 对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用。 三、简单应用 1．研究相关函数的性质。 例1．求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）。 先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制。 2．利用单调性比较大小。 例2．比较下列各组数的大小。 （1）与；（2）与； （3）与； （4）与。 让学生先说出 ... ...
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