5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质第一课时　周期性与奇偶性-学案（Word版）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第一课时　周期性与奇偶性-学案 课标要求 素养要求 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的周期. 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索y＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养. 自主梳理 1.周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0) ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2.最小正周期 条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 (1)周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期. (2)并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，而最小的正数是不存在的，故常数函数没有最小正周期.　　　 3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R).(×) 提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界. (2)函数f(x)＝sin 2x是奇函数.(√) (3)函数f(x)＝sin是偶函数.(√) (4)y＝sin x与y＝cos x既是中心对称图形又是轴对称图形.(√) 2.(多选题)下列函数中是周期为2π的偶函数的是(　　) A.y＝sin x B.y＝cos x C.y＝sin D.y＝cos 答案　BC 解析　由于y＝cos＝－sin x，所以A，D中的函数都是奇函数；y＝sin＝cos x符合题意，故选BC. 3.函数f(x)＝|sin x|是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案　B 解析　f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数. 4.函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期是_____. 答案　π 解析　由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)得f(x)的最小正周期为π. 题型一　三角函数的周期 【例1】　求下列函数的周期： (1)y＝2sin，x∈R； (2)y＝1－2cos，x∈R； (3)y＝|sin x|，x∈R. 解　(1)∵2sin ＝2sin＝2sin， ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π， 函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现， ∴函数y＝2sin，x∈R的周期是4π. (2)∵1－2cos＝1－2cos ＝1－2cos， ∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos，x∈R的值才能重复出现， ∴函数y＝1－2cos，x∈R的周期是4. (3)作图如下： 观察图象可知最小正周期为π. 思维升华　求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解. (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期. 【训练1】　求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin； (2)y＝. 解　(1)∵sin＝sin＝sin. ∴自变量x只要并且至少要增加到x＋，函数y＝sin，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin，x∈R的周期是. (2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，而函数y＝|cos|的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝. 题型二　三角函数的奇偶性 【例2】　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝. 解　(1)显然x∈R，f(x)＝cos x， f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，∴f(x)是偶函数. (2)由得－1