第五章 5.3 5.3.1 请同学们认真完成练案[16] A 组·素养自测 一、选择题 1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B ) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x [解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B． 2．y＝xln x在(0,5)上是( C ) A．单调增函数 B．单调减函数 C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增 D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减 [解析] ∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1， ∴当0－1，即y′>0， ∴y在(，5)上单调递增． 3．(2021·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( B ) [解析] 由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减， 即有导数小于0，可排除C，D； 再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f(x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A；则B正确． 故选B． 4．(2020·江苏省宿迁市期中)函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间为( B ) A．(－∞，5) B．(0,5) C．(5，＋∞) D．(0，＋∞) [解析] 易知，函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＋，令f ′(x)<0得00，解得x>1或x<－. 函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)，(1，＋∞)． 故答案为(－∞，－)，(1，＋∞)． 8．(2020·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cos x(0≤x≤2π)的单调递减区间为__(，)__. [解析] ∵函数y＝x＋2cos x，∴y′＝1－2sin x＜0， ∴sin x＞， 又∵x∈[0,2π]， ∴x∈(，)，故答案为(，)． 三、解答题 9．求函数y＝x3－2x2＋x＋1的单调区间． [解析] 函数y＝x3－2x2＋x＋1的定义域为R，y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)． 令y′＝0得x＝1或x＝. x＝1和x＝把定义域分为三个区间，y′在各区间上的正负列表如下： x (－∞，) (，1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y 单调递增 单调递减 单调递增 所以y＝x3－2x2＋x＋1在(－∞，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减． 10．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x. [解析] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)． ∵f ′(x)＝6x－，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)． 用x1分割定义域D，得下表： x f ′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)． ∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)， 令f ′(x)＝0，由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2． 用x1，x2分割定义域D，得下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ ↗ ↘ ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． B 组·素养提升 一、选择题 1．已知定义在R ... ...
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