第四章 4.4 请同学们认真完成练案[11] A 组·素养自测 一、选择题 1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( D ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有(n2－n)项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有(n2－n－1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ [解析] 由f(n)可知，f(n)中共有(n2－n＋1)项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.故选D． 2．用数学归纳法证明“2n>2n＋1，对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( B ) A．2 B．3 C．5 D．6 [解析] ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立； n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立，∴n的第一个取值n0＝3． 3．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A ) A．必须运用假设 B．可以部分地运用假设 C．可不用假设 D．应视情况灵活处理，A，B，C均可 [解析] 由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设． 4．(2021·上海高二检测)如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( B ) A．P(n)对所有自然数n成立 B．P(n)对所有正偶数n成立 C．P(n)对所有正奇数n成立 D．P(n)对所有大于1的自然数n成立 [解析] 因为命题P(n)对n＝k成立，且它对n＝k＋2也成立，所以若P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有正偶数n成立．故选B． 5．(2020·北师大附中高二期末)用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n3＝，n∈N*”，则当n＝k＋1时，应当在n＝k时对应的等式左边加上( B ) A．k3＋1 B．(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 C．(k＋1)3 D． [解析] 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k3； 当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3， 所以增加的项为(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3． 故选B． 6．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝( C ) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ [解析] 由题意将k替换为k＋1，据此可得 Sk＋1＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＋＋ ＝＋＋＋＋…＋＋＋－ ＝＋＋＋＋…＋＋－ ＝Sk＋－. 故选C． 二、填空题 7．(2020·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③____(填上所有正确命题的序号) ①n＝11时，该命题一定不成立； ②n＝11时，该命题一定成立； ③n＝1时，该命题一定不成立； ④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立． [解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立， 可得P(n)对n＝9不成立， 同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确． 故答案为③. 8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是__2k__. [解析] 当n＝k时成立， 即f(k)＝1＋＋…＋， 则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， 所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k. 三、解答题 9．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． [解析] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]． 这就是 ... ...
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