中小学教育资源及组卷应用平台 突破3.1 椭圆 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝， e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【知识必备】 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 三、题型突破 重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用 例1、（1）（ 河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【解析】由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆． （2）．（2021·宁夏银川市·银川二中高一期末）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是_____． 【答案】 【分析】 设的坐标为，的坐标为，则由可得，代入，整理可得答案 【详解】 解：设的坐标为，的坐标为， 因为点是在轴上的投影，是线段上一点，且， 所以， 因为在圆上， 所以，化简得， 故答案为： （3）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为_____． 【答案】 【分析】 由点在圆内部可知动圆在圆内部，由两圆内切知圆心距，进而得到，由此确定动圆圆心轨迹为椭圆，由椭圆定义可计算求得轨迹方程. 【详解】 由圆方程知其圆心为，半径， ，即点在圆内部，动圆在圆内部， 设圆半径为，则，， 即，又，， 动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆，此时，，， 动圆圆心的轨迹方程为：. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据两圆内切构造等量关系，即圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，由此确定动点轨迹为椭圆. 【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【答案】C 【分析】 比较与的大小关系，结合椭圆定义可得答案. ... ...
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