中小学教育资源及组卷应用平台 突破3.3 抛物线 一、考情分析 二、考点梳理 考点一 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) ＝ x0＋ ＝ －x0＋ ＝ y0＋ ＝ －y0＋ 考点二 与焦点弦有关的常用结论 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 考点三 与抛物线有关的经典结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 三、题型突破 重难点题型突破1 抛物线的定义及应用 例1．（1）、（辽宁省丹东一中2019届期中）已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 （2）．（2021·全国高三月考（文））抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ） A． B． C． D． （3）．（2021·全国高三月考（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为_____． 【变式训练1-1】．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_____． 【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则_____. 重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质 例2．（1）（河北省承德一中2019届调研）过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）．（2021·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练2-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－x B.x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y 【变式训练2-2】．（2021·陕西西北工业大学附属中学高二期中）抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 例3．（2021·四川省资中县第二中学高二月考（理））求符合下列条件的曲线方程 （1）顶点在原点，焦点在正半轴上且经过点的抛物线方程. （2）以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程. 【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点F关于准线的对称点为； （2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系 例4．（2022·全国高三）在平面直角坐标系中，抛物线：上一点到焦点的距离.不经过点的直线与交于，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点. 【变式训练4-1】．（2021·四川省新津中学高二月考（ ... ...
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