湘教版（2019）高中数学必修第二册 3.4 复数的三角表示课件(共41+40张PPT)

(课件网) 第三章 第二课时　复数三角形式的运算 能根据复数三角形式熟练进行复数的乘除、乘方运算，并能根据乘除法的几何意义解决相关问题. 课标要求 素养要求 通过了解复数三角表示及复数乘、除、乘方的几何意义，体会数学抽象素养及数学运算素养. 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 课前预习 知识探究 1 1.复数三角形式的乘法法则 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和. z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝_____. 推广：z1z2…zn＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]. 特别地r1＝r2＝…＝rn，θ1＝θ2＝…＝θn，则[r·(cos θ＋isin θ)]n＝ _____，其中n∈N＋. r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] rn·(cos nθ＋isin nθ) 2.复数三角形式的除法法则 两个复数相除(除数不为0)，商的模等于它们的模的商，商的辐角等于它们的辐角之差. 1.思考辨析，判断正误 √ (1)复数的三角形式可以进行乘除运算.( ) (2)r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2－isin θ2)＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].( ) 提示　cos θ2－isin θ2＝cos(－θ2)＋isin(－θ2). (3)两个复数相乘(除)，积(商)的模等于模的积(商)，辐角为两辐角之和(差)，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.( ) √ √ D 3.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析　因为z＝cos 30°＋isin 30°， 则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z2＝60°. B 课堂互动 题型剖析 2 题型一　复数三角形式的乘法运算 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加. 思维升华 2i 题型二　复数三角形式的除法运算 C 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减. 思维升华 【例3】　解方程x3＝1. 解　设x＝r(cos θ＋isin θ)(r>0)， 题型三　复数的三角形式在方程中的应用 此类题只须设出复数的三角形式，代入方程，根据复数相等的条件即可求解. 思维升华 1.积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和. 2.商的模等于模的商，商的辐角等于辐角之差. 课堂小结 分层训练 素养提升 3 B D 解析　ω5＝cos 2π＋isin 2π＝1，故选D. 3.设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 C C D 三、解答题 9.用两种不同的方法解方程z2＝i. 解　法一　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝(a2－b2)＋2abi＝i， 法二　设z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)， 10.求证：(1)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)； (2)[r(cos θ＋isin θ)]3＝r3(cos 3θ＋isin 3θ). 证明　(1)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2(cos θ＋isin θ)2 ＝r2(cos2 θ－sin2θ＋2icos θsin θ) ＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，所以待证式成立. (2)[r(cos θ＋isin θ)]3＝[r(cos θ＋isin θ)]2· [r(cos θ＋isin θ)]＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)·r(cos θ＋isin θ) ＝r3[cos(2θ＋θ)＋isin(2θ＋θ)] ＝r3(cos 3θ＋isin 3θ)， 所以待证式成立. B 4 14.(多选题)方程x4＝1，则x可以是(　 　) A.1 B.－1 C.i D.－i 解析　设x＝r(cos θ＋isin θ)，r>0，则 x4＝r4(cos 4θ＋isin 4θ)＝1 ＝cos 2kπ＋isin 2kπ r4＝1且4θ＝2kπ ABCD 由于正弦、余弦函数的周期均是2π，为避免复数根重复，θ只在[0，2π)范围内取值，于是k取0，1，2，3四个值得四个不同的根 ... ...