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课件网) 5.2.2 同角三角函数的基本关系 第5章 2021 内容索引 01 02 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 课标阐释 思维脉络 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1, =t α.(数学抽象) 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理) 课前篇 自主预习 情境导入 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α, x=cos α, =t α. 问题:能否根据x,y的关系得到sin α,cos α,t α的关系 知识梳理 知识点:同角三角函数的基本关系 1.平方关系 (1)公式:sin2α+cos2α=1; (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2.商数关系 (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 名师点析 1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角. 3.sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的. 微拓展 同角三角函数基本关系式的变形 1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形 (1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin α+cos α)2 =1+2sin αcos α;(5)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. 微练习 (1)sin22 020°+cos22 020°=( ) A.0 B.1 C.2 020 D.2 020° (2)若sin θ+cos θ=0,则t θ= . 答案 (1)B (2)-1 解析 (1)由平方关系知 sin22 020°+cos22 020°=1. (2)由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ, 课堂篇 探究学习 探究一 利用同角三角函数关系求值 1.已知某个三角函数值,求其余三角函数值 分析已知角的正弦值或正切值,求其他三角函数值,应先根据三角函数值的符号,确定角所在的象限,然后根据平方关系或商数关系求该角的其他三角函数值. 反思感悟 1.已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限; 第二步:依据角的终边所在象限分类讨论; 第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值. 2.利用同角三角函数关系式求值时要注意常见“勾股数”的应用,即(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13). 2.已知t α,求关于sin α和cos α齐次式的值 例2已知t α=2,则 分析注意到所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos α的整数次幂,把所求值的式子用t α表示,将t α=2整体代入求其值. 反思感悟 已知t α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 3.利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α 之间的关系求值 例3已知sin α+cos α= ,α∈(0,π),求t α的值. 分析要求t α的值,只需求得sin α,cos α的值.而由已知条件sin α+cos α= ,α∈(0,π),结合sin2α+cos2α=1,求得2sin αcos α的值,进而求得sin α-cos α的值,从而得到sin α,cos α的值,问题得解. 反思感悟 1.由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个. 2.sin θ±cos θ的符号的判定方法 (1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin θ=cos θ,即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ
